Zgjidh -2p^2+3p+5=0

$$-2 { p }^{ 2 } +3p+5 = 0$$

Gjej p

$$p=-1$$

$$p = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -2p^{2}+ap+bp+5. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=3 ab=-2\times 5=-10$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -10.

$$-1,10 -2,5$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 3.

$$a=5 b=-2$$

Rishkruaj -2p^{2}+3p+5 si \left(-2p^{2}+5p\right)+\left(-2p+5\right).

$$\left(-2p^{2}+5p\right)+\left(-2p+5\right)$$

Faktorizo -p në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$-p\left(2p-5\right)-\left(2p-5\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2p-5 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2p-5\right)\left(-p-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2p-5=0 dhe -p-1=0.

$$p=\frac{5}{2} p=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-2p^{2}+3p+5=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -2, b me 3 dhe c me 5 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 3.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-2\right)\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9+8\times 5}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 8 herë 5.

$$p=\frac{-3±\sqrt{9+40}}{2\left(-2\right)}$$

Mblidh 9 me 40.

$$p=\frac{-3±\sqrt{49}}{2\left(-2\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 49.

$$p=\frac{-3±7}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$p=\frac{-3±7}{-4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin p=\frac{-3±7}{-4} kur ± është plus. Mblidh -3 me 7.

$$p=\frac{4}{-4}$$

Pjesëto 4 me -4.

$$p=-1$$

Tani zgjidhe ekuacionin p=\frac{-3±7}{-4} kur ± është minus. Zbrit 7 nga -3.

$$p=-\frac{10}{-4}$$

Thjeshto thyesën \frac{-10}{-4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$p=\frac{5}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$p=-1 p=\frac{5}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-2p^{2}+3p+5=0$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2p^{2}+3p+5-5=-5$$

Zbritja e 5 nga vetja e tij jep 0.

$$-2p^{2}+3p=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$\frac{-2p^{2}+3p}{-2}=-\frac{5}{-2}$$

Pjesëtimi me -2 zhbën shumëzimin me -2.

$$p^{2}+\frac{3}{-2}p=-\frac{5}{-2}$$

Pjesëto 3 me -2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=-\frac{5}{-2}$$

Pjesëto -5 me -2.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p=\frac{5}{2}$$

Pjesëto -\frac{3}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{5}{2}+\frac{9}{16}$$

Mblidh \frac{5}{2} me \frac{9}{16} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}=\frac{49}{16}$$

Faktori p^{2}-\frac{3}{2}p+\frac{9}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{49}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(p-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{16}}$$

Thjeshto.

$$p-\frac{3}{4}=\frac{7}{4} p-\frac{3}{4}=-\frac{7}{4}$$

Mblidh \frac{3}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$p=\frac{5}{2} p=-1$$