Zgjidh -8x^2+24x-18=0

$$- 8 x ^ { 2 } + 24 x - 18 = 0$$

Gjej x

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$-4x^{2}+12x-9=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -4x^{2}+ax+bx-9. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=12 ab=-4\left(-9\right)=36$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 36.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 12.

$$a=6 b=6$$

Rishkruaj -4x^{2}+12x-9 si \left(-4x^{2}+6x\right)+\left(6x-9\right).

$$\left(-4x^{2}+6x\right)+\left(6x-9\right)$$

Faktorizo -2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$-2x\left(2x-3\right)+3\left(2x-3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-3\right)\left(-2x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 2x-3=0 dhe -2x+3=0.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-8x^{2}+24x-18=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -8, b me 24 dhe c me -18 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\left(-8\right)\left(-18\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 24.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\left(-8\right)\left(-18\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Shumëzo -4 herë -8.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576+32\left(-18\right)}}{2\left(-8\right)}$$

Shumëzo 32 herë -18.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-576}}{2\left(-8\right)}$$

Mblidh 576 me -576.

$$x=\frac{-24±\sqrt{0}}{2\left(-8\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 0.

$$x=-\frac{24}{2\left(-8\right)}$$

Shumëzo 2 herë -8.

$$x=-\frac{24}{-16}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{-16} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-8x^{2}+24x-18=0$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-8x^{2}+24x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Zbritja e -18 nga vetja e tij jep 0.

$$-8x^{2}+24x=-\left(-18\right)$$

Zbrit -18 nga 0.

$$-8x^{2}+24x=18$$

Pjesëto të dyja anët me -8.

$$\frac{-8x^{2}+24x}{-8}=\frac{18}{-8}$$

Pjesëtimi me -8 zhbën shumëzimin me -8.

$$x^{2}+\frac{24}{-8}x=\frac{18}{-8}$$

Pjesëto 24 me -8.

$$x^{2}-3x=\frac{18}{-8}$$

Thjeshto thyesën \frac{18}{-8} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}-3x=-\frac{9}{4}$$

Pjesëto -3, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{9}{4}+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{-9+9}{4}$$

Mblidh -\frac{9}{4} me \frac{9}{4} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=0$$

Faktori x^{2}-3x+\frac{9}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=0$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{3}{2}=0 x-\frac{3}{2}=0$$

Mblidh \frac{3}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{3}{2} x=\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani. Zgjidhjet janë njëlloj.

$$x=\frac{3}{2}$$