Zgjidh -3x^2+51x-156=0

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

Gjej x

$$x=4$$

$$x=13$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -x^{2}+ax+bx-52. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 52.

$$1,52 2,26 4,13$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 17.

$$a=13 b=4$$

Rishkruaj -x^{2}+17x-52 si \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right).

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

Faktorizo -x në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-13 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-13=0 dhe -x+4=0.

$$x=13 x=4$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -3, b me 51 dhe c me -156 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo -4 herë -3.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo 12 herë -156.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

Mblidh 2601 me -1872.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 729.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

Shumëzo 2 herë -3.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-51±27}{-6} kur ± është plus. Mblidh -51 me 27.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

Pjesëto -24 me -6.

$$x=4$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-51±27}{-6} kur ± është minus. Zbrit 27 nga -51.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

Pjesëto -78 me -6.

$$x=13$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=4 x=13$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Mblidh 156 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

Zbritja e -156 nga vetja e tij jep 0.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

Zbrit -156 nga 0.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

Pjesëtimi me -3 zhbën shumëzimin me -3.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

Pjesëto 51 me -3.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

Pjesëto 156 me -3.

$$x^{2}-17x=-52$$

Pjesëto -17, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{17}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{17}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{17}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

Mblidh -52 me \frac{289}{4}.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktori x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Mblidh \frac{17}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=13 x=4$$