Zgjidh -2x^2+13x+24=0

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

Gjej x

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -2x^{2}+ax+bx+24. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -48.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 13.

$$a=16 b=-3$$

Rishkruaj -2x^{2}+13x+24 si \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right).

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët -x+8 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh -x+8=0 dhe 2x+3=0.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -2, b me 13 dhe c me 24 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 8 herë 24.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

Mblidh 169 me 192.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 361.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

Shumëzo 2 herë -2.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-13±19}{-4} kur ± është plus. Mblidh -13 me 19.

$$x=\frac{6}{-4}$$

Thjeshto thyesën \frac{6}{-4} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-13±19}{-4} kur ± është minus. Zbrit 19 nga -13.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

Pjesëto -32 me -4.

$$x=8$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Zbrit 24 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

Zbritja e 24 nga vetja e tij jep 0.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

Pjesëtimi me -2 zhbën shumëzimin me -2.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

Pjesëto 13 me -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

Pjesëto -24 me -2.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

Pjesëto -\frac{13}{2}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{13}{4}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{13}{4} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{13}{4} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

Mblidh 12 me \frac{169}{16}.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktori x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Mblidh \frac{13}{4} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$