Zgjidh -16t^2+96t-108

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Faktorizo

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Faktorizo 4.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

Merr parasysh -4t^{2}+24t-27. Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si -4t^{2}+at+bt-27. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 108.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 24.

$$a=18 b=6$$

Rishkruaj -4t^{2}+24t-27 si \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right).

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

Faktorizo -2t në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2t-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Rishkruaj shprehjen e plotë të faktorizuar.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 96.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Shumëzo -4 herë -16.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

Shumëzo 64 herë -108.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

Mblidh 9216 me -6912.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 2304.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

Shumëzo 2 herë -16.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{-96±48}{-32} kur ± është plus. Mblidh -96 me 48.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-48}{-32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$t=\frac{3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin t=\frac{-96±48}{-32} kur ± është minus. Zbrit 48 nga -96.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-144}{-32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$t=\frac{9}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso \frac{3}{2} për x_{1} dhe \frac{9}{2} për x_{2}.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Zbrit \frac{3}{2} nga t duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Zbrit \frac{9}{2} nga t duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Shumëzo \frac{-2t+3}{-2} herë \frac{-2t+9}{-2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

Shumëzo -2 herë -2.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 4 në -16 dhe 4.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Vlerëso

$$-16t^{2}+96t-108$$