Zgjidh (x+3)^2+(3x-8)(3x+8)+1=3[x(x+3)+6]

$$( x + 3 ) ^ { 2 } + ( 3 x - 8 ) ( 3 x + 8 ) + 1 = 3 [ x ( x + 3 ) + 6 ]$$

Gjej x

$$x=-3$$

$$x = \frac{24}{7} = 3\frac{3}{7} \approx 3.428571429$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Merr parasysh \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zhvillo \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Llogarit 3 në fuqi të 2 dhe merr 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombino x^{2} dhe 9x^{2} për të marrë 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zbrit 64 nga 9 për të marrë -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Shto -55 dhe 1 për të marrë -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Zbrit 3x^{2} nga të dyja anët.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombino 10x^{2} dhe -3x^{2} për të marrë 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombino 6x dhe -9x për të marrë -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Zbrit 18 nga të dyja anët.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Zbrit 18 nga -54 për të marrë -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 7x^{2}+ax+bx-72. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-3 ab=7\left(-72\right)=-504$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -504.

$$1,-504 2,-252 3,-168 4,-126 6,-84 7,-72 8,-63 9,-56 12,-42 14,-36 18,-28 21,-24$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-504=-503 2-252=-250 3-168=-165 4-126=-122 6-84=-78 7-72=-65 8-63=-55 9-56=-47 12-42=-30 14-36=-22 18-28=-10 21-24=-3$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -3.

$$a=-24 b=21$$

Rishkruaj 7x^{2}-3x-72 si \left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right).

$$\left(7x^{2}-24x\right)+\left(21x-72\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$x\left(7x-24\right)+3\left(7x-24\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 7x-24 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(7x-24\right)\left(x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 7x-24=0 dhe x+3=0.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Merr parasysh \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zhvillo \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Llogarit 3 në fuqi të 2 dhe merr 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombino x^{2} dhe 9x^{2} për të marrë 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zbrit 64 nga 9 për të marrë -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Shto -55 dhe 1 për të marrë -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Zbrit 3x^{2} nga të dyja anët.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombino 10x^{2} dhe -3x^{2} për të marrë 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombino 6x dhe -9x për të marrë -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Zbrit 18 nga të dyja anët.

$$7x^{2}-3x-54-18=0$$

Zbrit 18 nga -54 për të marrë -72.

$$7x^{2}-3x-72=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 7, b me -3 dhe c me -72 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Ngri në fuqi të dytë -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -4 herë 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-72\right)}}{2\times 7}$$

Shumëzo -28 herë -72.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+2016}}{2\times 7}$$

Mblidh 9 me 2016.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Gjej rrënjën katrore të 2025.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±45}{2\times 7}$$

E kundërta e -3 është 3.

$$x=\frac{3±45}{2\times 7}$$

Shumëzo 2 herë 7.

$$x=\frac{3±45}{14}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{3±45}{14} kur ± është plus. Mblidh 3 me 45.

$$x=\frac{48}{14}$$

Thjeshto thyesën \frac{48}{14} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{24}{7}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{3±45}{14} kur ± është minus. Zbrit 45 nga 3.

$$x=-\frac{42}{14}$$

Pjesëto -42 me 14.

$$x=-3$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+3\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x-8\right)\left(3x+8\right)+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Merr parasysh \left(3x-8\right)\left(3x+8\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 8.

$$x^{2}+6x+9+\left(3x\right)^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zhvillo \left(3x\right)^{2}.

$$x^{2}+6x+9+3^{2}x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Llogarit 3 në fuqi të 2 dhe merr 9.

$$x^{2}+6x+9+9x^{2}-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Kombino x^{2} dhe 9x^{2} për të marrë 10x^{2}.

$$10x^{2}+6x+9-64+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Zbrit 64 nga 9 për të marrë -55.

$$10x^{2}+6x-55+1=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Shto -55 dhe 1 për të marrë -54.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x\left(x+3\right)+6\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar x me x+3.

$$10x^{2}+6x-54=3\left(x^{2}+3x+6\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x^{2}+3x+6.

$$10x^{2}+6x-54=3x^{2}+9x+18$$

Zbrit 3x^{2} nga të dyja anët.

$$10x^{2}+6x-54-3x^{2}=9x+18$$

Kombino 10x^{2} dhe -3x^{2} për të marrë 7x^{2}.

$$7x^{2}+6x-54=9x+18$$

Zbrit 9x nga të dyja anët.

$$7x^{2}+6x-54-9x=18$$

Kombino 6x dhe -9x për të marrë -3x.

$$7x^{2}-3x-54=18$$

Shto 54 në të dyja anët.

$$7x^{2}-3x=18+54$$

Shto 18 dhe 54 për të marrë 72.

$$7x^{2}-3x=72$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{72}{7}$$

Pjesëtimi me 7 zhbën shumëzimin me 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{72}{7}$$

Pjesëto -\frac{3}{7}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{3}{14}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{3}{14} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{72}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{3}{14} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{72}{7}+\frac{9}{196}$$

Mblidh \frac{72}{7} me \frac{9}{196} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{2025}{196}$$

Faktori x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{45}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{45}{14}$$

Mblidh \frac{3}{14} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{24}{7} x=-3$$