Zgjidh (v+4)^2=2v^2+2v+9

$$( v + 4 ) ^ { 2 } = 2 v ^ { 2 } + 2 v + 9$$

Gjej v

$$v=-1$$

$$v=7$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Zbrit 2v^{2} nga të dyja anët.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Kombino v^{2} dhe -2v^{2} për të marrë -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Zbrit 2v nga të dyja anët.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Kombino 8v dhe -2v për të marrë 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Zbrit 9 nga 16 për të marrë 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -v^{2}+av+bv+7. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=6 ab=-7=-7$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Vetëm një çift i tillë është zgjidhja e sistemit.

$$a=7 b=-1$$

Rishkruaj -v^{2}+6v+7 si \left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right).

$$\left(-v^{2}+7v\right)+\left(-v+7\right)$$

Faktorizo -v në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$-v\left(v-7\right)-\left(v-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët v-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(v-7\right)\left(-v-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh v-7=0 dhe -v-1=0.

$$v=7 v=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Zbrit 2v^{2} nga të dyja anët.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Kombino v^{2} dhe -2v^{2} për të marrë -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Zbrit 2v nga të dyja anët.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Kombino 8v dhe -2v për të marrë 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$-v^{2}+6v+16-9=0$$

Zbrit 9 nga 16 për të marrë 7.

$$-v^{2}+6v+7=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -1, b me 6 dhe c me 7 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 6.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Shumëzo -4 herë -1.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 7}}{2\left(-1\right)}$$

Shumëzo 4 herë 7.

$$v=\frac{-6±\sqrt{36+28}}{2\left(-1\right)}$$

Mblidh 36 me 28.

$$v=\frac{-6±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 64.

$$v=\frac{-6±8}{2\left(-1\right)}$$

Shumëzo 2 herë -1.

$$v=\frac{-6±8}{-2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin v=\frac{-6±8}{-2} kur ± është plus. Mblidh -6 me 8.

$$v=\frac{2}{-2}$$

Pjesëto 2 me -2.

$$v=-1$$

Tani zgjidhe ekuacionin v=\frac{-6±8}{-2} kur ± është minus. Zbrit 8 nga -6.

$$v=-\frac{14}{-2}$$

Pjesëto -14 me -2.

$$v=7$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$v=-1 v=7$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(v+4\right)^{2}.

$$v^{2}+8v+16=2v^{2}+2v+9$$

Zbrit 2v^{2} nga të dyja anët.

$$v^{2}+8v+16-2v^{2}=2v+9$$

Kombino v^{2} dhe -2v^{2} për të marrë -v^{2}.

$$-v^{2}+8v+16=2v+9$$

Zbrit 2v nga të dyja anët.

$$-v^{2}+8v+16-2v=9$$

Kombino 8v dhe -2v për të marrë 6v.

$$-v^{2}+6v+16=9$$

Zbrit 16 nga të dyja anët.

$$-v^{2}+6v=9-16$$

Zbrit 16 nga 9 për të marrë -7.

$$-v^{2}+6v=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$\frac{-v^{2}+6v}{-1}=-\frac{7}{-1}$$

Pjesëtimi me -1 zhbën shumëzimin me -1.

$$v^{2}+\frac{6}{-1}v=-\frac{7}{-1}$$

Pjesëto 6 me -1.

$$v^{2}-6v=-\frac{7}{-1}$$

Pjesëto -7 me -1.

$$v^{2}-6v=7$$

Pjesëto -6, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -3. Më pas mblidh katrorin e -3 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$v^{2}-6v+\left(-3\right)^{2}=7+\left(-3\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -3.

$$v^{2}-6v+9=7+9$$

Mblidh 7 me 9.

$$v^{2}-6v+9=16$$

Faktori v^{2}-6v+9. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v-3\right)^{2}=16$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(v-3\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Thjeshto.

$$v-3=4 v-3=-4$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$v=7 v=-1$$