Zgjidh (9-5x)^2+2(9-5x)^2-24<0

$$( 9 - 5 x ) ^ { 2 } + 2 ( 9 - 5 x ) ^ { 2 } - 24 < 0$$

Gjej x

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(9-5x\right)^{2}-24<0$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(9-5x\right)^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+2\left(81-90x+25x^{2}\right)-24<0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 81-90x+25x^{2}.

$$81-90x+25x^{2}+162-180x+50x^{2}-24<0$$

Shto 81 dhe 162 për të marrë 243.

$$243-90x+25x^{2}-180x+50x^{2}-24<0$$

Kombino -90x dhe -180x për të marrë -270x.

$$243-270x+25x^{2}+50x^{2}-24<0$$

Kombino 25x^{2} dhe 50x^{2} për të marrë 75x^{2}.

$$243-270x+75x^{2}-24<0$$

Zbrit 24 nga 243 për të marrë 219.

$$219-270x+75x^{2}<0$$

Për të zgjidhur mosbarazimin, faktorizo anën e majtë. Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$219-270x+75x^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 75 për a, -270 për b dhe 219 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-\left(-270\right)±\sqrt{\left(-270\right)^{2}-4\times 75\times 219}}{2\times 75}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150}$$

Zgjidh ekuacionin x=\frac{270±60\sqrt{2}}{150} kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+9}{5} x=\frac{9-2\sqrt{2}}{5}$$

Rishkruaj mosbarazimin duke përdorur zgjidhjet e përfituara.

$$75\left(x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)\left(x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}\right)<0$$

Që prodhimi të jetë negativ, x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} dhe x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} duhet të jenë me shenja të kundërta. Merr parasysh rastin kur x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} është pozitiv dhe x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} është negativ.

$$x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}>0 x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}<0$$

Kjo është e rreme për çdo x.

$$x\in \emptyset$$

Merr parasysh rastin kur x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5} është pozitiv dhe x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5} është negativ.

$$x-\frac{9-2\sqrt{2}}{5}>0 x-\frac{2\sqrt{2}+9}{5}<0$$

Zgjidhja që plotëson të dy mosbarazimet është x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right).

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$

Zgjidhja përfundimtare është bashkimi i zgjidhjeve të arritura.

$$x\in \left(\frac{9-2\sqrt{2}}{5},\frac{2\sqrt{2}+9}{5}\right)$$