Zgjidh (5x-2)^2-(2x-1)(2x+1)=47+x

$$( 5 x - 2 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ( 2 x + 1 ) = 47 + x$$

Gjej x

$$x=-1$$

$$x=2$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Merr parasysh \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Zhvillo \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Për të gjetur të kundërtën e 4x^{2}-1, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombino 25x^{2} dhe -4x^{2} për të marrë 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Zbrit 47 nga të dyja anët.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Zbrit 47 nga 5 për të marrë -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombino -20x dhe -x për të marrë -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Pjesëto të dyja anët me 21.

$$x^{2}-x-2=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx-2. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Vetëm një çift i tillë është zgjidhja e sistemit.

$$a=-2 b=1$$

Rishkruaj x^{2}-x-2 si \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Faktorizo x në x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-2=0 dhe x+1=0.

$$x=2 x=-1$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Merr parasysh \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Zhvillo \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Për të gjetur të kundërtën e 4x^{2}-1, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombino 25x^{2} dhe -4x^{2} për të marrë 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Zbrit 47 nga të dyja anët.

$$21x^{2}-20x+5-47=x$$

Zbrit 47 nga 5 për të marrë -42.

$$21x^{2}-20x-42=x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$21x^{2}-20x-42-x=0$$

Kombino -20x dhe -x për të marrë -21x.

$$21x^{2}-21x-42=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 21, b me -21 dhe c me -42 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Ngri në fuqi të dytë -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 21\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Shumëzo -4 herë 21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-84\left(-42\right)}}{2\times 21}$$

Shumëzo -84 herë -42.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+3528}}{2\times 21}$$

Mblidh 441 me 3528.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{3969}}{2\times 21}$$

Gjej rrënjën katrore të 3969.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±63}{2\times 21}$$

E kundërta e -21 është 21.

$$x=\frac{21±63}{2\times 21}$$

Shumëzo 2 herë 21.

$$x=\frac{21±63}{42}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{21±63}{42} kur ± është plus. Mblidh 21 me 63.

$$x=\frac{84}{42}$$

Pjesëto 84 me 42.

$$x=2$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{21±63}{42} kur ± është minus. Zbrit 63 nga 21.

$$x=-\frac{42}{42}$$

Pjesëto -42 me 42.

$$x=-1$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=2 x=-1$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x-2\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)=47+x$$

Merr parasysh \left(2x-1\right)\left(2x+1\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 1.

$$25x^{2}-20x+4-\left(\left(2x\right)^{2}-1\right)=47+x$$

Zhvillo \left(2x\right)^{2}.

$$25x^{2}-20x+4-\left(2^{2}x^{2}-1\right)=47+x$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$25x^{2}-20x+4-\left(4x^{2}-1\right)=47+x$$

Për të gjetur të kundërtën e 4x^{2}-1, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$25x^{2}-20x+4-4x^{2}+1=47+x$$

Kombino 25x^{2} dhe -4x^{2} për të marrë 21x^{2}.

$$21x^{2}-20x+4+1=47+x$$

Shto 4 dhe 1 për të marrë 5.

$$21x^{2}-20x+5=47+x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$21x^{2}-20x+5-x=47$$

Kombino -20x dhe -x për të marrë -21x.

$$21x^{2}-21x+5=47$$

Zbrit 5 nga të dyja anët.

$$21x^{2}-21x=47-5$$

Zbrit 5 nga 47 për të marrë 42.

$$21x^{2}-21x=42$$

Pjesëto të dyja anët me 21.

$$\frac{21x^{2}-21x}{21}=\frac{42}{21}$$

Pjesëtimi me 21 zhbën shumëzimin me 21.

$$x^{2}+\left(-\frac{21}{21}\right)x=\frac{42}{21}$$

Pjesëto -21 me 21.

$$x^{2}-x=\frac{42}{21}$$

Pjesëto 42 me 21.

$$x^{2}-x=2$$

Pjesëto -1, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{4}$$

Mblidh 2 me \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktori x^{2}-x+\frac{1}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{1}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=2 x=-1$$