Zgjidh (5x+7)^2=16

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

Gjej x

$$x=-\frac{3}{5}=-0.6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2.2$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Zbrit 16 nga të dyja anët.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Zbrit 16 nga 49 për të marrë 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 25x^{2}+ax+bx+33. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 825.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 70.

$$a=15 b=55$$

Rishkruaj 25x^{2}+70x+33 si \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right).

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

Faktorizo 5x në grupin e parë dhe 11 në të dytin.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 5x+3 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 5x+3=0 dhe 5x+11=0.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Zbrit 16 nga të dyja anët.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

Zbrit 16 nga 49 për të marrë 33.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 25, b me 70 dhe c me 33 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Ngri në fuqi të dytë 70.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

Shumëzo -4 herë 25.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

Shumëzo -100 herë 33.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

Mblidh 4900 me -3300.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

Gjej rrënjën katrore të 1600.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

Shumëzo 2 herë 25.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-70±40}{50} kur ± është plus. Mblidh -70 me 40.

$$x=-\frac{30}{50}$$

Thjeshto thyesën \frac{-30}{50} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-70±40}{50} kur ± është minus. Zbrit 40 nga -70.

$$x=-\frac{110}{50}$$

Thjeshto thyesën \frac{-110}{50} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x+7\right)^{2}.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Zbrit 49 nga të dyja anët.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

Zbrit 49 nga 16 për të marrë -33.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Pjesëto të dyja anët me 25.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

Pjesëtimi me 25 zhbën shumëzimin me 25.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

Thjeshto thyesën \frac{70}{25} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 5.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

Pjesëto \frac{14}{5}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{7}{5}. Më pas mblidh katrorin e \frac{7}{5} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{7}{5} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Mblidh -\frac{33}{25} me \frac{49}{25} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Faktori x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Zbrit \frac{7}{5} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$