Zgjidh (4x+6)^2=2x+3

$$( 4 x + 6 ) ^ { 2 } = 2 x + 3$$

Gjej x

$$x = -\frac{11}{8} = -1\frac{3}{8} = -1.375$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Kombino 48x dhe -2x për të marrë 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Zbrit 3 nga 36 për të marrë 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 16x^{2}+ax+bx+33. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=46 ab=16\times 33=528$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 528.

$$1,528 2,264 3,176 4,132 6,88 8,66 11,48 12,44 16,33 22,24$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+528=529 2+264=266 3+176=179 4+132=136 6+88=94 8+66=74 11+48=59 12+44=56 16+33=49 22+24=46$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 46.

$$a=22 b=24$$

Rishkruaj 16x^{2}+46x+33 si \left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right).

$$\left(16x^{2}+22x\right)+\left(24x+33\right)$$

Faktorizo 2x në grupin e parë dhe 3 në të dytin.

$$2x\left(8x+11\right)+3\left(8x+11\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 8x+11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(8x+11\right)\left(2x+3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 8x+11=0 dhe 2x+3=0.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Kombino 48x dhe -2x për të marrë 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$16x^{2}+46x+36-3=0$$

Zbrit 3 nga 36 për të marrë 33.

$$16x^{2}+46x+33=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 16, b me 46 dhe c me 33 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-46±\sqrt{46^{2}-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Ngri në fuqi të dytë 46.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-4\times 16\times 33}}{2\times 16}$$

Shumëzo -4 herë 16.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-64\times 33}}{2\times 16}$$

Shumëzo -64 herë 33.

$$x=\frac{-46±\sqrt{2116-2112}}{2\times 16}$$

Mblidh 2116 me -2112.

$$x=\frac{-46±\sqrt{4}}{2\times 16}$$

Gjej rrënjën katrore të 4.

$$x=\frac{-46±2}{2\times 16}$$

Shumëzo 2 herë 16.

$$x=\frac{-46±2}{32}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-46±2}{32} kur ± është plus. Mblidh -46 me 2.

$$x=-\frac{44}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-44}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{11}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-46±2}{32} kur ± është minus. Zbrit 2 nga -46.

$$x=-\frac{48}{32}$$

Thjeshto thyesën \frac{-48}{32} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 16.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4x+6\right)^{2}.

$$16x^{2}+48x+36=2x+3$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$16x^{2}+48x+36-2x=3$$

Kombino 48x dhe -2x për të marrë 46x.

$$16x^{2}+46x+36=3$$

Zbrit 36 nga të dyja anët.

$$16x^{2}+46x=3-36$$

Zbrit 36 nga 3 për të marrë -33.

$$16x^{2}+46x=-33$$

Pjesëto të dyja anët me 16.

$$\frac{16x^{2}+46x}{16}=-\frac{33}{16}$$

Pjesëtimi me 16 zhbën shumëzimin me 16.

$$x^{2}+\frac{46}{16}x=-\frac{33}{16}$$

Thjeshto thyesën \frac{46}{16} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x=-\frac{33}{16}$$

Pjesëto \frac{23}{8}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{23}{16}. Më pas mblidh katrorin e \frac{23}{16} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{16}+\left(\frac{23}{16}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{23}{16} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=-\frac{33}{16}+\frac{529}{256}$$

Mblidh -\frac{33}{16} me \frac{529}{256} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}=\frac{1}{256}$$

Faktori x^{2}+\frac{23}{8}x+\frac{529}{256}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}=\frac{1}{256}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{23}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{256}}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{23}{16}=\frac{1}{16} x+\frac{23}{16}=-\frac{1}{16}$$

Zbrit \frac{23}{16} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-\frac{11}{8} x=-\frac{3}{2}$$