Zgjidh (3x+1)^2=9

$$( 3 x + 1 ) ^ { 2 } = 9$$

Gjej x

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

$$x = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Zbrit 9 nga 1 për të marrë -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 9x^{2}+ax+bx-8. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=6 ab=9\left(-8\right)=-72$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 6.

$$a=-6 b=12$$

Rishkruaj 9x^{2}+6x-8 si \left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right).

$$\left(9x^{2}-6x\right)+\left(12x-8\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 4 në të dytin.

$$3x\left(3x-2\right)+4\left(3x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 3x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(3x-2\right)\left(3x+4\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh 3x-2=0 dhe 3x+4=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Zbrit 9 nga të dyja anët.

$$9x^{2}+6x+1-9=0$$

Zbrit 9 nga 1 për të marrë -8.

$$9x^{2}+6x-8=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 9, b me 6 dhe c me -8 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Ngri në fuqi të dytë 6.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 9\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Shumëzo -4 herë 9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36\left(-8\right)}}{2\times 9}$$

Shumëzo -36 herë -8.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+288}}{2\times 9}$$

Mblidh 36 me 288.

$$x=\frac{-6±\sqrt{324}}{2\times 9}$$

Gjej rrënjën katrore të 324.

$$x=\frac{-6±18}{2\times 9}$$

Shumëzo 2 herë 9.

$$x=\frac{-6±18}{18}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-6±18}{18} kur ± është plus. Mblidh -6 me 18.

$$x=\frac{12}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{12}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=\frac{2}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-6±18}{18} kur ± është minus. Zbrit 18 nga -6.

$$x=-\frac{24}{18}$$

Thjeshto thyesën \frac{-24}{18} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 6.

$$x=-\frac{4}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x+1\right)^{2}.

$$9x^{2}+6x+1=9$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$9x^{2}+6x=9-1$$

Zbrit 1 nga 9 për të marrë 8.

$$9x^{2}+6x=8$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$\frac{9x^{2}+6x}{9}=\frac{8}{9}$$

Pjesëtimi me 9 zhbën shumëzimin me 9.

$$x^{2}+\frac{6}{9}x=\frac{8}{9}$$

Thjeshto thyesën \frac{6}{9} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=\frac{8}{9}$$

Pjesëto \frac{2}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë \frac{1}{3}. Më pas mblidh katrorin e \frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \frac{1}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{8+1}{9}$$

Mblidh \frac{8}{9} me \frac{1}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=1$$

Faktori x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=1$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Thjeshto.

$$x+\frac{1}{3}=1 x+\frac{1}{3}=-1$$

Zbrit \frac{1}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{4}{3}$$