Zgjidh (23-x)^2+x^2=17^2

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

Gjej x

$$x=8$$

$$x=15$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombino x^{2} dhe x^{2} për të marrë 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Llogarit 17 në fuqi të 2 dhe merr 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Zbrit 289 nga të dyja anët.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Zbrit 289 nga 529 për të marrë 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+120. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -23.

$$a=-15 b=-8$$

Rishkruaj x^{2}-23x+120 si \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -8 në të dytin.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-15 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-15=0 dhe x-8=0.

$$x=15 x=8$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombino x^{2} dhe x^{2} për të marrë 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Llogarit 17 në fuqi të 2 dhe merr 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Zbrit 289 nga të dyja anët.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

Zbrit 289 nga 529 për të marrë 240.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 2, b me -46 dhe c me 240 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Ngri në fuqi të dytë -46.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

Shumëzo -4 herë 2.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

Shumëzo -8 herë 240.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

Mblidh 2116 me -1920.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

Gjej rrënjën katrore të 196.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

E kundërta e -46 është 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

Shumëzo 2 herë 2.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{46±14}{4} kur ± është plus. Mblidh 46 me 14.

$$x=\frac{60}{4}$$

Pjesëto 60 me 4.

$$x=15$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{46±14}{4} kur ± është minus. Zbrit 14 nga 46.

$$x=\frac{32}{4}$$

Pjesëto 32 me 4.

$$x=8$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=15 x=8$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(23-x\right)^{2}.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

Kombino x^{2} dhe x^{2} për të marrë 2x^{2}.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

Llogarit 17 në fuqi të 2 dhe merr 289.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Zbrit 529 nga të dyja anët.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

Zbrit 529 nga 289 për të marrë -240.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

Pjesëtimi me 2 zhbën shumëzimin me 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

Pjesëto -46 me 2.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

Pjesëto -240 me 2.

$$x^{2}-23x=-120$$

Pjesëto -23, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{23}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{23}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{23}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

Mblidh -120 me \frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktori x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Mblidh \frac{23}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=15 x=8$$