Zgjidh (22+51x-10x^2)_{max}

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Faktorizo

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Hapat e zgjidhjes

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-10x^{2}+51x+22$$

Faktorizo shprehjen nëpërmjet grupimit. Së pari, shprehja duhet të rishkruhet si -10x^{2}+ax+bx+22. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është pozitive, numri pozitiv ka vlerë absolute më të madhe se ai negativ. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -220.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 51.

$$a=55 b=-4$$

Rishkruaj -10x^{2}+51x+22 si \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right).

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

Faktorizo -5x në grupin e parë dhe -2 në të dytin.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët 2x-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Polinomi i shkallës së dytë mund të faktorizohet duke përdorur transformimin ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), ku x_{1} dhe x_{2} janë zgjidhjet e ekuacionit të shkallës së dytë ax^{2}+bx+c=0.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 51.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Shumëzo -4 herë -10.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

Shumëzo 40 herë 22.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

Mblidh 2601 me 880.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të 3481.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

Shumëzo 2 herë -10.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-51±59}{-20} kur ± është plus. Mblidh -51 me 59.

$$x=\frac{8}{-20}$$

Thjeshto thyesën \frac{8}{-20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 4.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-51±59}{-20} kur ± është minus. Zbrit 59 nga -51.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

Thjeshto thyesën \frac{-110}{-20} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 10.

$$x=\frac{11}{2}$$

Faktorizo shprehjen origjinale duke përdorur ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Zëvendëso -\frac{2}{5} për x_{1} dhe \frac{11}{2} për x_{2}.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Thjeshto të gjitha shprehjet e formës p-\left(-q\right) në p+q.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Mblidh \frac{2}{5} me x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Zbrit \frac{11}{2} nga x duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke zbritur numëruesit. Më pas thjeshto thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Shumëzo \frac{-5x-2}{-5} herë \frac{-2x+11}{-2} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

Shumëzo -5 herë -2.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 10 në -10 dhe 10.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Vlerëso

$$22+51x-10x^{2}$$