Zgjidh (2x-3)^2-(x+5)^2=-23

$$( 2 x - 3 ) ^ { 2 } - ( x + 5 ) ^ { 2 } = - 23$$

Gjej x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0.333333333$$

$$x=7$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}+10x+25, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombino -12x dhe -10x për të marrë -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Shto 23 në të dyja anët.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Shto -16 dhe 23 për të marrë 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+7. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-22 ab=3\times 7=21$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 21.

$$-1,-21 -3,-7$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-21=-22 -3-7=-10$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -22.

$$a=-21 b=-1$$

Rishkruaj 3x^{2}-22x+7 si \left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right).

$$\left(3x^{2}-21x\right)+\left(-x+7\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe -1 në të dytin.

$$3x\left(x-7\right)-\left(x-7\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-7 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-7\right)\left(3x-1\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-7=0 dhe 3x-1=0.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}+10x+25, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombino -12x dhe -10x për të marrë -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Shto 23 në të dyja anët.

$$3x^{2}-22x-16+23=0$$

Shto -16 dhe 23 për të marrë 7.

$$3x^{2}-22x+7=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -22 dhe c me 7 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -22.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-12\times 7}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë 7.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-84}}{2\times 3}$$

Mblidh 484 me -84.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të 400.

$$x=\frac{-\left(-22\right)±20}{2\times 3}$$

E kundërta e -22 është 22.

$$x=\frac{22±20}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{22±20}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{22±20}{6} kur ± është plus. Mblidh 22 me 20.

$$x=\frac{42}{6}$$

Pjesëto 42 me 6.

$$x=7$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{22±20}{6} kur ± është minus. Zbrit 20 nga 22.

$$x=\frac{2}{6}$$

Thjeshto thyesën \frac{2}{6} në kufizat më të vogla duke zbritur dhe thjeshtuar 2.

$$x=\frac{1}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x+5\right)^{2}=-23$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x+5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}+10x+25\right)=-23$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}+10x+25, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}-10x-25=-23$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9-10x-25=-23$$

Kombino -12x dhe -10x për të marrë -22x.

$$3x^{2}-22x+9-25=-23$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$3x^{2}-22x-16=-23$$

Shto 16 në të dyja anët.

$$3x^{2}-22x=-23+16$$

Shto -23 dhe 16 për të marrë -7.

$$3x^{2}-22x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}-22x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Pjesëto -\frac{22}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{11}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{11}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{11}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{11}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{121}{9}$$

Mblidh -\frac{7}{3} me \frac{121}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}=\frac{100}{9}$$

Faktori x^{2}-\frac{22}{3}x+\frac{121}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{11}{3}=\frac{10}{3} x-\frac{11}{3}=-\frac{10}{3}$$

Mblidh \frac{11}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=7 x=\frac{1}{3}$$