Zgjidh (2x+4)^2-5x(7-3x)(7+3x)-(3x-2)^2-40x^2=-205

$$( 2 x + 4 ) ^ { 2 } - 5 x ( 7 - 3 x ) ( 7 + 3 x ) - ( 3 x - 2 ) ^ { 2 } - 40 x ^ { 2 } = - 205$$

Gjej x

$$x = \frac{\sqrt{1085}}{15} \approx 2.195955879$$

$$x = -\frac{\sqrt{1085}}{15} \approx -2.195955879$$

$$x=1$$

Hapat e zgjidhjes

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+4\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(3x-2\right)^{2}-40x^{2}=-205$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x-2\right)^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-\left(9x^{2}-12x+4\right)-40x^{2}=-205$$

Për të gjetur të kundërtën e 9x^{2}-12x+4, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-9x^{2}+12x-4-40x^{2}=-205$$

Kombino -9x^{2} dhe -40x^{2} për të marrë -49x^{2}.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4=-205$$

Shto 205 në të dyja anët.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x-4+205=0$$

Shto -4 dhe 205 për të marrë 201.

$$4x^{2}+16x+16-5x\left(7-3x\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -5x me 7-3x.

$$4x^{2}+16x+16+\left(-35x+15x^{2}\right)\left(7+3x\right)-49x^{2}+12x+201=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -35x+15x^{2} me 7+3x dhe kombino kufizat e ngjashme.

$$4x^{2}+16x+16-245x+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombino 16x dhe -245x për të marrë -229x.

$$4x^{2}-229x+16+45x^{3}-49x^{2}+12x+201=0$$

Kombino 4x^{2} dhe -49x^{2} për të marrë -45x^{2}.

$$-45x^{2}-229x+16+45x^{3}+12x+201=0$$

Kombino -229x dhe 12x për të marrë -217x.

$$-45x^{2}-217x+16+45x^{3}+201=0$$

Shto 16 dhe 201 për të marrë 217.

$$-45x^{2}-217x+217+45x^{3}=0$$

Risistemo ekuacionin për ta vendosur në formën standarde. Vendosi kufizat të renditura nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$45x^{3}-45x^{2}-217x+217=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 217 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 45. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{217}{45},±\frac{217}{15},±\frac{217}{9},±\frac{217}{5},±\frac{217}{3},±217,±\frac{31}{45},±\frac{31}{15},±\frac{31}{9},±\frac{31}{5},±\frac{31}{3},±31,±\frac{7}{45},±\frac{7}{15},±\frac{7}{9},±\frac{7}{5},±\frac{7}{3},±7,±\frac{1}{45},±\frac{1}{15},±\frac{1}{9},±\frac{1}{5},±\frac{1}{3},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=1$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 45x^{3}-45x^{2}-217x+217 me x-1 për të marrë 45x^{2}-217. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$45x^{2}-217=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 45 për a, 0 për b dhe -217 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 45\left(-217\right)}}{2\times 45}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{0±6\sqrt{1085}}{90}$$

Zgjidh ekuacionin 45x^{2}-217=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=1 x=-\frac{\sqrt{1085}}{15} x=\frac{\sqrt{1085}}{15}$$