Zgjidh y^2-15y=-54

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

Gjej y

$$y=6$$

$$y=9$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Shto 54 në të dyja anët.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo y^{2}-15y+54 me anë të formulës y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-15 ab=54$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -15.

$$a=-9 b=-6$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(y+a\right)\left(y+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-9=0 dhe y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Shto 54 në të dyja anët.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si y^{2}+ay+by+54. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 54.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -15.

$$a=-9 b=-6$$

Rishkruaj y^{2}-15y+54 si \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right).

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

Faktorizo y në grupin e parë dhe -6 në të dytin.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët y-9 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh y-9=0 dhe y-6=0.

$$y=9 y=6$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$y^{2}-15y=-54$$

Mblidh 54 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

Zbritja e -54 nga vetja e tij jep 0.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

Zbrit -54 nga 0.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -15 dhe c me 54 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -15.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 54.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

Mblidh 225 me -216.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 9.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

E kundërta e -15 është 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{15±3}{2} kur ± është plus. Mblidh 15 me 3.

$$y=\frac{18}{2}$$

Pjesëto 18 me 2.

$$y=9$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{15±3}{2} kur ± është minus. Zbrit 3 nga 15.

$$y=\frac{12}{2}$$

Pjesëto 12 me 2.

$$y=6$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=9 y=6$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-15y=-54$$

Pjesëto -15, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{15}{2}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{15}{2} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{15}{2} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

Mblidh -54 me \frac{225}{4}.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktori y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Thjeshto.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Mblidh \frac{15}{2} në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=9 y=6$$