Zgjidh x^4=left(5x-14right)^2

$${ x }^{ 4 } = { \left(5x-14 \right) }^{ 2 }$$

Gjej x (complex solution)

$$x=-7$$

$$x=2$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+5}{2}\approx 2.5-2.783882181i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{31}i}{2}\approx 2.5+2.783882181i$$

Hapat e zgjidhjes

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x-14\right)^{2}.

$$x^{4}=25x^{2}-140x+196$$

Zbrit 25x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{4}-25x^{2}=-140x+196$$

Shto 140x në të dyja anët.

$$x^{4}-25x^{2}+140x=196$$

Zbrit 196 nga të dyja anët.

$$x^{4}-25x^{2}+140x-196=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -196 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±196,±98,±49,±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=2$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{4}-25x^{2}+140x-196 me x-2 për të marrë x^{3}+2x^{2}-21x+98. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$x^{3}+2x^{2}-21x+98=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 98 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±98,±49,±14,±7,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-7$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{3}+2x^{2}-21x+98 me x+7 për të marrë x^{2}-5x+14. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$x^{2}-5x+14=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 1 për a, -5 për b dhe 14 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 14}}{2}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{5±\sqrt{-31}}{2}$$

Zgjidh ekuacionin x^{2}-5x+14=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{31}i}{2}$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=2 x=-7 x=\frac{-\sqrt{31}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{31}i}{2}$$

Gjej x

$$x=-7$$

$$x=2$$

Hapat e zgjidhjes

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(5x-14\right)^{2}.

$$x^{4}=25x^{2}-140x+196$$

Zbrit 25x^{2} nga të dyja anët.

$$x^{4}-25x^{2}=-140x+196$$

Shto 140x në të dyja anët.

$$x^{4}-25x^{2}+140x=196$$

Zbrit 196 nga të dyja anët.

$$x^{4}-25x^{2}+140x-196=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -196 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±196,±98,±49,±28,±14,±7,±4,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=2$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{4}-25x^{2}+140x-196 me x-2 për të marrë x^{3}+2x^{2}-21x+98. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$x^{3}+2x^{2}-21x+98=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante 98 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 1. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±98,±49,±14,±7,±2,±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=-7$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto x^{3}+2x^{2}-21x+98 me x+7 për të marrë x^{2}-5x+14. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$x^{2}-5x+14=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 1 për a, -5 për b dhe 14 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 1\times 14}}{2}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{5±\sqrt{-31}}{2}$$

Meqë rrënja katrore e një numri negativ nuk përcaktohet në fushën reale, nuk ka zgjidhje.

$$x\in \emptyset$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=2 x=-7$$