Zgjidh x^2-78x+225=0

$${ x }^{ 2 } -78x+225 = 0$$

Gjej x

$$x=3$$

$$x=75$$

Hapat që përdorin faktorizimin

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-78x+225 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-78 ab=225$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -78.

$$a=-75 b=-3$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-75\right)\left(x-3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-75=0 dhe x-3=0.

$$x=75 x=3$$

Hapat që përdorin faktorizimin nëpërmjet grupimit

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx+225. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-78 ab=1\times 225=225$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -78.

$$a=-75 b=-3$$

Rishkruaj x^{2}-78x+225 si \left(x^{2}-75x\right)+\left(-3x+225\right).

$$\left(x^{2}-75x\right)+\left(-3x+225\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe -3 në të dytin.

$$x\left(x-75\right)-3\left(x-75\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-75 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-75\right)\left(x-3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-75=0 dhe x-3=0.

$$x=75 x=3$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-78x+225=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -78 dhe c me 225 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{\left(-78\right)^{2}-4\times 225}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -78.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084-4\times 225}}{2}$$

Shumëzo -4 herë 225.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{6084-900}}{2}$$

Mblidh 6084 me -900.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±\sqrt{5184}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 5184.

$$x=\frac{-\left(-78\right)±72}{2}$$

E kundërta e -78 është 78.

$$x=\frac{78±72}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{78±72}{2} kur ± është plus. Mblidh 78 me 72.

$$x=\frac{150}{2}$$

Pjesëto 150 me 2.

$$x=75$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{78±72}{2} kur ± është minus. Zbrit 72 nga 78.

$$x=\frac{6}{2}$$

Pjesëto 6 me 2.

$$x=3$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=75 x=3$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-78x+225=0$$

Zbrit 225 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x^{2}-78x+225-225=-225$$

Zbritja e 225 nga vetja e tij jep 0.

$$x^{2}-78x=-225$$

Pjesëto -78, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -39. Më pas mblidh katrorin e -39 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-78x+\left(-39\right)^{2}=-225+\left(-39\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -39.

$$x^{2}-78x+1521=-225+1521$$

Mblidh -225 me 1521.

$$x^{2}-78x+1521=1296$$

Faktori x^{2}-78x+1521. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-39\right)^{2}=1296$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-39\right)^{2}}=\sqrt{1296}$$

Thjeshto.

$$x-39=36 x-39=-36$$

Mblidh 39 në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=75 x=3$$