Zgjidh left(2x-3right)^2-left(x-5right)^2=-23

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } - { \left(x-5 \right) }^{ 2 } =-23$$

Gjej x (complex solution)

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}\approx 0.333333333+1.490711985i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}\approx 0.333333333-1.490711985i$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}-10x+25, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Kombino -12x dhe 10x për të marrë -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Shto 23 në të dyja anët.

$$3x^{2}-2x-16+23=0$$

Shto -16 dhe 23 për të marrë 7.

$$3x^{2}-2x+7=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 3, b me -2 dhe c me 7 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Ngri në fuqi të dytë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\times 7}}{2\times 3}$$

Shumëzo -4 herë 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\times 7}}{2\times 3}$$

Shumëzo -12 herë 7.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-84}}{2\times 3}$$

Mblidh 4 me -84.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{-80}}{2\times 3}$$

Gjej rrënjën katrore të -80.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

E kundërta e -2 është 2.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{2\times 3}$$

Shumëzo 2 herë 3.

$$x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} kur ± është plus. Mblidh 2 me 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{2+4\sqrt{5}i}{6}$$

Pjesëto 2+4i\sqrt{5} me 6.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±4\sqrt{5}i}{6} kur ± është minus. Zbrit 4i\sqrt{5} nga 2.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+2}{6}$$

Pjesëto 2-4i\sqrt{5} me 6.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x-5\right)^{2}=-23$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9-\left(x^{2}-10x+25\right)=-23$$

Për të gjetur të kundërtën e x^{2}-10x+25, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$4x^{2}-12x+9-x^{2}+10x-25=-23$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}-12x+9+10x-25=-23$$

Kombino -12x dhe 10x për të marrë -2x.

$$3x^{2}-2x+9-25=-23$$

Zbrit 25 nga 9 për të marrë -16.

$$3x^{2}-2x-16=-23$$

Shto 16 në të dyja anët.

$$3x^{2}-2x=-23+16$$

Shto -23 dhe 16 për të marrë -7.

$$3x^{2}-2x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=-\frac{7}{3}$$

Pjesëtimi me 3 zhbën shumëzimin me 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{7}{3}$$

Pjesëto -\frac{2}{3}, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -\frac{1}{3}. Më pas mblidh katrorin e -\frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{7}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{1}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{7}{3}+\frac{1}{9}$$

Mblidh -\frac{7}{3} me \frac{1}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{20}{9}$$

Faktori x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{20}{9}$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{9}}$$

Thjeshto.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2\sqrt{5}i}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2\sqrt{5}i}{3}$$

Mblidh \frac{1}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=\frac{1+2\sqrt{5}i}{3} x=\frac{-2\sqrt{5}i+1}{3}$$