Zgjidh {left(sqrt{2}+sqrt{5}right)}^2-{left(2+sqrt{10}right)}^2+sqrt{90}+left(2sqrt{2}-1right)left(2sqrt{2}+1right)

$${ \left( \sqrt{ 2 } + \sqrt{ 5 } \right) }^{ 2 } - { \left(2+ \sqrt{ 10 } \right) }^{ 2 } + \sqrt{ 90 } + \left( 2 \sqrt{ 2 } -1 \right) \left( 2 \sqrt{ 2 } +1 \right)$$

Vlerëso

$$\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

Hapat e zgjidhjes

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{2}+\sqrt{5}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2}\right)^{2}+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$2+2\sqrt{2}\sqrt{5}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Për të shumëzuar \sqrt{2} dhe \sqrt{5}, shumëzo numrat nën rrënjën katrore.

$$2+2\sqrt{10}+\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Katrori i \sqrt{5} është 5.

$$2+2\sqrt{10}+5-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Shto 2 dhe 5 për të marrë 7.

$$7+2\sqrt{10}-\left(2+\sqrt{10}\right)^{2}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{10}\right)^{2}.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+\left(\sqrt{10}\right)^{2}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Katrori i \sqrt{10} është 10.

$$7+2\sqrt{10}-\left(4+4\sqrt{10}+10\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Shto 4 dhe 10 për të marrë 14.

$$7+2\sqrt{10}-\left(14+4\sqrt{10}\right)+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 14+4\sqrt{10}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$7+2\sqrt{10}-14-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Zbrit 14 nga 7 për të marrë -7.

$$-7+2\sqrt{10}-4\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kombino 2\sqrt{10} dhe -4\sqrt{10} për të marrë -2\sqrt{10}.

$$-7-2\sqrt{10}+\sqrt{90}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Faktorizo 90=3^{2}\times 10. Rishkruaj rrënjën katrore të produktit \sqrt{3^{2}\times 10} si produkt i rrënjëve katrore \sqrt{3^{2}}\sqrt{10}. Gjej rrënjën katrore të 3^{2}.

$$-7-2\sqrt{10}+3\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Kombino -2\sqrt{10} dhe 3\sqrt{10} për të marrë \sqrt{10}.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right)$$

Merr parasysh \left(2\sqrt{2}-1\right)\left(2\sqrt{2}+1\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Ngri në fuqi të dytë 1.

$$-7+\sqrt{10}+\left(2\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Zhvillo \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$-7+\sqrt{10}+2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$-7+\sqrt{10}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}-1$$

Katrori i \sqrt{2} është 2.

$$-7+\sqrt{10}+4\times 2-1$$

Shumëzo 4 me 2 për të marrë 8.

$$-7+\sqrt{10}+8-1$$

Zbrit 1 nga 8 për të marrë 7.

$$-7+\sqrt{10}+7$$

Shto -7 dhe 7 për të marrë 0.

$$\sqrt{10}$$