Zgjidh {left(14-4y/3right)}^2-10(14-4y/3)+y^2-12y-39=0

$${ \left( \frac{ 14-4y }{ 3 } \right) }^{ 2 } -10( \frac{ 14-4y }{ 3 } )+ { y }^{ 2 } -12y-39=0$$

Gjej y

$$y=3\sqrt{3}+2\approx 7.196152423$$

$$y=2-3\sqrt{3}\approx -3.196152423$$

Hapat që përdorin formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Për ta ngritur \frac{14-4y}{3} në një fuqi, ngri numëruesin dhe emëruesin në atë fuqi dhe më pas pjesëtoji.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Shpreh 10\times \frac{14-4y}{3} si një thyesë të vetme.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me 14-4y.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Për të shtuar ose për të zbritur shprehjet, zgjeroji për t'i bërë të njëjtë emëruesit e tyre. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 3^{2} dhe 3 është 9. Shumëzo \frac{140-40y}{3} herë \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Meqenëse \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} dhe \frac{3\left(140-40y\right)}{9} kanë të njëjtin emërues, zbriti duke zbritur numëruesit e tyre.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Bëj shumëzimet në \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Kombino kufizat e ngjashme në 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 9 në 3 dhe 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Pjesëto çdo kufizë të -224+8y+16y^{2} me 3 për të marrë -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Kombino \frac{16}{3}y^{2} dhe 3y^{2} për të marrë \frac{25}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Kombino \frac{8}{3}y dhe -36y për të marrë -\frac{100}{3}y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Zbrit 117 nga -\frac{224}{3} për të marrë -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y-\frac{575}{3}=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me \frac{25}{3}, b me -\frac{100}{3} dhe c me -\frac{575}{3} në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\left(-\frac{100}{3}\right)^{2}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Ngri në fuqi të dytë -\frac{100}{3} duke ngritur në fuqi të dytë që të dy, numëruesin dhe emëruesin e thyesës.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-4\times \frac{25}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Shumëzo -4 herë \frac{25}{3}.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000}{9}-\frac{100}{3}\left(-\frac{575}{3}\right)}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Shumëzo -\frac{100}{3} herë -\frac{575}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{\frac{10000+57500}{9}}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Mblidh \frac{10000}{9} me \frac{57500}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±\sqrt{7500}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Gjej rrënjën katrore të 7500.

$$y=\frac{-\left(-\frac{100}{3}\right)±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

E kundërta e -\frac{100}{3} është \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{2\times \frac{25}{3}}$$

Shumëzo 2 herë \frac{25}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} kur ± është plus. Mblidh \frac{100}{3} me 50\sqrt{3}.

$$y=\frac{50\sqrt{3}+\frac{100}{3}}{\frac{50}{3}}$$

Pjesëto \frac{100}{3}+50\sqrt{3} me \frac{50}{3} duke shumëzuar \frac{100}{3}+50\sqrt{3} me të anasjelltën e \frac{50}{3}.

$$y=3\sqrt{3}+2$$

Tani zgjidhe ekuacionin y=\frac{\frac{100}{3}±50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}} kur ± është minus. Zbrit 50\sqrt{3} nga \frac{100}{3}.

$$y=\frac{\frac{100}{3}-50\sqrt{3}}{\frac{50}{3}}$$

Pjesëto \frac{100}{3}-50\sqrt{3} me \frac{50}{3} duke shumëzuar \frac{100}{3}-50\sqrt{3} me të anasjelltën e \frac{50}{3}.

$$y=2-3\sqrt{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$

Hapat për plotësimin e katrorit

Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$3\left(\left(\frac{14-4y}{3}\right)^{2}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Për ta ngritur \frac{14-4y}{3} në një fuqi, ngri numëruesin dhe emëruesin në atë fuqi dhe më pas pjesëtoji.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-10\times \frac{14-4y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Shpreh 10\times \frac{14-4y}{3} si një thyesë të vetme.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{10\left(14-4y\right)}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 10 me 14-4y.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{3^{2}}-\frac{140-40y}{3}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Për të shtuar ose për të zbritur shprehjet, zgjeroji për t'i bërë të njëjtë emëruesit e tyre. Shumëfishi më i vogël i përbashkët i 3^{2} dhe 3 është 9. Shumëzo \frac{140-40y}{3} herë \frac{3}{3}.

$$3\left(\frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9}-\frac{3\left(140-40y\right)}{9}\right)+3y^{2}-36y-117=0$$

Meqenëse \frac{\left(14-4y\right)^{2}}{9} dhe \frac{3\left(140-40y\right)}{9} kanë të njëjtin emërues, zbriti duke zbritur numëruesit e tyre.

$$3\times \frac{\left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right)}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Bëj shumëzimet në \left(14-4y\right)^{2}-3\left(140-40y\right).

$$3\times \frac{196-112y+16y^{2}-420+120y}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Kombino kufizat e ngjashme në 196-112y+16y^{2}-420+120y.

$$3\times \frac{-224+8y+16y^{2}}{9}+3y^{2}-36y-117=0$$

Thjeshto faktorin më të madh të përbashkët 9 në 3 dhe 9.

$$\frac{-224+8y+16y^{2}}{3}+3y^{2}-36y-117=0$$

Pjesëto çdo kufizë të -224+8y+16y^{2} me 3 për të marrë -\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{16}{3}y^{2}+3y^{2}-36y-117=0$$

Kombino \frac{16}{3}y^{2} dhe 3y^{2} për të marrë \frac{25}{3}y^{2}.

$$-\frac{224}{3}+\frac{8}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-36y-117=0$$

Kombino \frac{8}{3}y dhe -36y për të marrë -\frac{100}{3}y.

$$-\frac{224}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}-117=0$$

Zbrit 117 nga -\frac{224}{3} për të marrë -\frac{575}{3}.

$$-\frac{575}{3}-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=0$$

Shto \frac{575}{3} në të dyja anët. Një numër i mbledhur me zero është i barabartë me atë numër.

$$-\frac{100}{3}y+\frac{25}{3}y^{2}=\frac{575}{3}$$

Ekuacionet e shkallës së dytë si ky mund të zgjidhen duke plotësuar katrorin. Për të plotësuar katrorin, ekuacioni duhet të jetë në fillim në formën x^{2}+bx=c.

$$\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y=\frac{575}{3}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me \frac{25}{3}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$\frac{\frac{25}{3}y^{2}-\frac{100}{3}y}{\frac{25}{3}}=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Pjesëtimi me \frac{25}{3} zhbën shumëzimin me \frac{25}{3}.

$$y^{2}+\left(-\frac{\frac{100}{3}}{\frac{25}{3}}\right)y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Pjesëto -\frac{100}{3} me \frac{25}{3} duke shumëzuar -\frac{100}{3} me të anasjelltën e \frac{25}{3}.

$$y^{2}-4y=\frac{\frac{575}{3}}{\frac{25}{3}}$$

Pjesëto \frac{575}{3} me \frac{25}{3} duke shumëzuar \frac{575}{3} me të anasjelltën e \frac{25}{3}.

$$y^{2}-4y=23$$

Pjesëto -4, koeficientin e kufizës x, me 2 për të marrë -2. Më pas mblidh katrorin e -2 në të dyja anët e ekuacionit. Ky hap e bën anën e majtë të ekuacionit një katror të përsosur.

$$y^{2}-4y+\left(-2\right)^{2}=23+\left(-2\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -2.

$$y^{2}-4y+4=23+4$$

Mblidh 23 me 4.

$$y^{2}-4y+4=27$$

Faktori y^{2}-4y+4. Në përgjithësi, kur x^{2}+bx+c është një katror perfekt, mund të faktorizohet gjithmonë si \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-2\right)^{2}=27$$

Gjej rrënjën katrore të të dyja anëve të ekuacionit.

$$\sqrt{\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{27}$$

Thjeshto.

$$y-2=3\sqrt{3} y-2=-3\sqrt{3}$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=3\sqrt{3}+2 y=2-3\sqrt{3}$$