Zgjidh {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Vlerëso

$$4\sqrt{3}+7\approx 13.92820323$$

Hapat e zgjidhjes

Racionalizo emëruesin e \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Merr parasysh \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \sqrt{3}. Ngri në fuqi të dytë 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Zbrit 1 nga 3 për të marrë 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Shumëzo \sqrt{3}+1 me \sqrt{3}+1 për të marrë \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Katrori i \sqrt{3} është 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Pjesëto çdo kufizë të 4+2\sqrt{3} me 2 për të marrë 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Katrori i \sqrt{3} është 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Zhvillo

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13.92820323$$

Hapat e zgjidhjes

Racionalizo emëruesin e \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} duke shumëzuar numëruesin dhe emëruesin me \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Merr parasysh \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). Shumëzimi mund të shndërrohet në diferencë të katrorëve duke përdorur rregullën: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Ngri në fuqi të dytë \sqrt{3}. Ngri në fuqi të dytë 1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Zbrit 1 nga 3 për të marrë 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Shumëzo \sqrt{3}+1 me \sqrt{3}+1 për të marrë \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Katrori i \sqrt{3} është 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Pjesëto çdo kufizë të 4+2\sqrt{3} me 2 për të marrë 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Katrori i \sqrt{3} është 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$7+4\sqrt{3}$$