Zgjidh sqrt{x+3}=sqrt{5x}-1

$$\sqrt{ x+3 } = \sqrt{ 5x } -1$$

Gjej x

$$x = \frac{\sqrt{65} + 9}{8} \approx 2.132782219$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+3} në fuqi të 2 dhe merr x+3.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{5x}-1\right)^{2}.

$$x+3=\left(\sqrt{5x}\right)^{2}-2\sqrt{5x}+1$$

Llogarit \sqrt{5x} në fuqi të 2 dhe merr 5x.

$$x+3=5x-2\sqrt{5x}+1$$

Zbrit 5x+1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x+3-\left(5x+1\right)=-2\sqrt{5x}$$

Për të gjetur të kundërtën e 5x+1, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x+3-5x-1=-2\sqrt{5x}$$

Kombino x dhe -5x për të marrë -4x.

$$-4x+3-1=-2\sqrt{5x}$$

Zbrit 1 nga 3 për të marrë 2.

$$-4x+2=-2\sqrt{5x}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-4x+2\right)^{2}=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-4x+2\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(-2\sqrt{5x}\right)^{2}.

$$16x^{2}-16x+4=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Llogarit -2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$16x^{2}-16x+4=4\left(\sqrt{5x}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{5x} në fuqi të 2 dhe merr 5x.

$$16x^{2}-16x+4=4\times 5x$$

Shumëzo 4 me 5 për të marrë 20.

$$16x^{2}-16x+4=20x$$

Zbrit 20x nga të dyja anët.

$$16x^{2}-16x+4-20x=0$$

Kombino -16x dhe -20x për të marrë -36x.

$$16x^{2}-36x+4=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 16, b me -36 dhe c me 4 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Ngri në fuqi të dytë -36.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 16\times 4}}{2\times 16}$$

Shumëzo -4 herë 16.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-64\times 4}}{2\times 16}$$

Shumëzo -64 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-256}}{2\times 16}$$

Mblidh 1296 me -256.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1040}}{2\times 16}$$

Gjej rrënjën katrore të 1040.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

E kundërta e -36 është 36.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{2\times 16}$$

Shumëzo 2 herë 16.

$$x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} kur ± është plus. Mblidh 36 me 4\sqrt{65}.

$$x=\frac{4\sqrt{65}+36}{32}$$

Pjesëto 36+4\sqrt{65} me 32.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{36±4\sqrt{65}}{32} kur ± është minus. Zbrit 4\sqrt{65} nga 36.

$$x=\frac{36-4\sqrt{65}}{32}$$

Pjesëto 36-4\sqrt{65} me 32.

$$x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} x=\frac{9-\sqrt{65}}{8}$$

Zëvendëso \frac{\sqrt{65}+9}{8} me x në ekuacionin \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{9-\sqrt{65}}{8} me x në ekuacionin \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{9-\sqrt{65}}{8}}-1$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{9-\sqrt{65}}{8} nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$-\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}\right)=-\frac{9}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{\sqrt{65}+9}{8} me x në ekuacionin \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{65}+9}{8}+3}=\sqrt{5\times \frac{\sqrt{65}+9}{8}}-1$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{\sqrt{65}+9}{8} vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\times 65^{\frac{1}{2}}$$

Ekuacioni \sqrt{x+3}=\sqrt{5x}-1 ka një zgjidhje unike.

$$x=\frac{\sqrt{65}+9}{8}$$