Zgjidh sqrt{x}=sqrt{1+sqrt{x}}

$$\sqrt{ x } = \sqrt{ 1+ \sqrt{ x } }$$

Gjej x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2.618033989$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x} në fuqi të 2 dhe merr x.

$$x=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{1+\sqrt{x}} në fuqi të 2 dhe merr 1+\sqrt{x}.

$$x=1+\sqrt{x}$$

Zbrit 1 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x-1=\sqrt{x}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x} në fuqi të 2 dhe merr x.

$$x^{2}-2x+1=x$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$x^{2}-2x+1-x=0$$

Kombino -2x dhe -x për të marrë -3x.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -3 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Mblidh 9 me -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

E kundërta e -3 është 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kur ± është plus. Mblidh 3 me \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} kur ± është minus. Zbrit \sqrt{5} nga 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Zëvendëso \frac{\sqrt{5}+3}{2} me x në ekuacionin \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{3-\sqrt{5}}{2} me x në ekuacionin \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} nuk e vërteton ekuacionin.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{\sqrt{5}+3}{2} me x në ekuacionin \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Ekuacioni \sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+1} ka një zgjidhje unike.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$