Zgjidh sqrt{x^4+8x^3+2x^2-1}=sqrt{x^4+2{x}^2}

$$\sqrt{ { x }^{ 4 } +8 { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } -1 } = \sqrt{ { x }^{ 4 } +2 { x }^{ 2 } }$$

Gjej x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\approx -0.25-0.433012702i$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

$$x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\approx -0.25+0.433012702i$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} në fuqi të 2 dhe merr x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x^{4}+2x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Zbrit x^{4} nga të dyja anët.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Kombino x^{4} dhe -x^{4} për të marrë 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Zbrit 2x^{2} nga të dyja anët.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Kombino 2x^{2} dhe -2x^{2} për të marrë 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -1 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 8. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 8x^{3}-1 me 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 për të marrë 4x^{2}+2x+1. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 4 për a, 2 për b dhe 1 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Zgjidh ekuacionin 4x^{2}+2x+1=0 kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Zëvendëso \frac{1}{2} me x në ekuacionin \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{1}{2} vërteton ekuacionin.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Zëvendëso \frac{-\sqrt{3}i-1}{4} me x në ekuacionin \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-\sqrt{3}i-1}{4}\right)^{2}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72+56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{-1+\sqrt{3}i}{4} me x në ekuacionin \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+8\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{3}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{4}+2\times \left(\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}\right)^{2}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4} vërteton ekuacionin.

$$\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{16}\left(-72-56i\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Listo të gjitha zgjidhjet e \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$x=\frac{1}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i-1}{4} x=\frac{-1+\sqrt{3}i}{4}$$

Gjej x

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1} në fuqi të 2 dhe merr x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=\left(\sqrt{x^{4}+2x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x^{4}+2x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr x^{4}+2x^{2}.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1=x^{4}+2x^{2}$$

Zbrit x^{4} nga të dyja anët.

$$x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1-x^{4}=2x^{2}$$

Kombino x^{4} dhe -x^{4} për të marrë 0.

$$8x^{3}+2x^{2}-1=2x^{2}$$

Zbrit 2x^{2} nga të dyja anët.

$$8x^{3}+2x^{2}-1-2x^{2}=0$$

Kombino 2x^{2} dhe -2x^{2} për të marrë 0.

$$8x^{3}-1=0$$

Sipas teoremës së rrënjëve racionale, të gjitha rrënjët racionale të një polinomi janë në formën \frac{p}{q}, ku p pjesëtohet me kufizën konstante -1 dhe q pjesëtohet me koeficientin kryesor 8. Lista e të gjithë kandidatëve \frac{p}{q}.

$$±\frac{1}{8},±\frac{1}{4},±\frac{1}{2},±1$$

Gjej një rrënjë të tillë duke provuar të gjitha vlerat me numra të plotë, duke filluar nga vlera më e vogël sipas vlerës absolute. Nëse nuk gjendet asnjë rrënjë e plotë, provo thyesat.

$$x=\frac{1}{2}$$

Sipas teoremës së faktorëve, x-k është një faktor i polinomit për çdo rrënjë k. Pjesëto 8x^{3}-1 me 2\left(x-\frac{1}{2}\right)=2x-1 për të marrë 4x^{2}+2x+1. Zgjidh ekuacionin ku rezultati është i barabartë me 0.

$$4x^{2}+2x+1=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 4 për a, 2 për b dhe 1 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\times 1}}{2\times 4}$$

Bëj llogaritjet.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-12}}{8}$$

Meqë rrënja katrore e një numri negativ nuk përcaktohet në fushën reale, nuk ka zgjidhje.

$$x\in \emptyset$$

Listo të gjitha zgjidhjet e gjetura.

$$x=\frac{1}{2}$$

Zëvendëso \frac{1}{2} me x në ekuacionin \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+8\times \left(\frac{1}{2}\right)^{3}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}-1}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{4}+2\times \left(\frac{1}{2}\right)^{2}}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{1}{2} vërteton ekuacionin.

$$\frac{3}{4}=\frac{3}{4}$$

Ekuacioni \sqrt{x^{4}+8x^{3}+2x^{2}-1}=\sqrt{x^{4}+2x^{2}} ka një zgjidhje unike.

$$x=\frac{1}{2}$$