Zgjidh sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Gjej x

$$x=3$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit \sqrt{2x-2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-3} në fuqi të 2 dhe merr x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x-2} në fuqi të 2 dhe merr 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Zbrit 2 nga 4 për të marrë 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Zbrit 2+2x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Për të gjetur të kundërtën e 2+2x, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Zbrit 2 nga -3 për të marrë -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Llogarit -4 në fuqi të 2 dhe merr 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x-2} në fuqi të 2 dhe merr 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Zbrit 32x nga të dyja anët.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Kombino 10x dhe -32x për të marrë -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Shto 32 në të dyja anët.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

Shto 25 dhe 32 për të marrë 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo x^{2}-22x+57 me anë të formulës x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-22 ab=57$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -22.

$$a=-19 b=-3$$

Rishkruaj shprehjen e faktorizuar \left(x+a\right)\left(x+b\right) duke përdorur vlerat e fituara.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-19=0 dhe x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Zëvendëso 19 me x në ekuacionin \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Thjeshto. Vlera x=19 nuk e vërteton ekuacionin.

$$10=2$$

Zëvendëso 3 me x në ekuacionin \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Thjeshto. Vlera x=3 vërteton ekuacionin.

$$2=2$$

Ekuacioni \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 ka një zgjidhje unike.

$$x=3$$