Zgjidh sqrt{x-1}-2=2sqrt{x+3}

$$\sqrt { x - 1 } - 2 = 2 \sqrt { x + 3 }$$

Gjej x (complex solution)

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}\approx -2.111111111-2.514157444i$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{x-1}-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-1} në fuqi të 2 dhe merr x-1.

$$x-1-4\sqrt{x-1}+4=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Shto -1 dhe 4 për të marrë 3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=\left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(2\sqrt{x+3}\right)^{2}.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+3} në fuqi të 2 dhe merr x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4\left(x+3\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+3.

$$x+3-4\sqrt{x-1}=4x+12$$

Zbrit x+3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-\left(x+3\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e x+3, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-4\sqrt{x-1}=4x+12-x-3$$

Kombino 4x dhe -x për të marrë 3x.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+12-3$$

Zbrit 3 nga 12 për të marrë 9.

$$-4\sqrt{x-1}=3x+9$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Zhvillo \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Llogarit -4 në fuqi të 2 dhe merr 16.

$$16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}=\left(3x+9\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-1} në fuqi të 2 dhe merr x-1.

$$16\left(x-1\right)=\left(3x+9\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me x-1.

$$16x-16=\left(3x+9\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(3x+9\right)^{2}.

$$16x-16=9x^{2}+54x+81$$

Zbrit 9x^{2} nga të dyja anët.

$$16x-16-9x^{2}=54x+81$$

Zbrit 54x nga të dyja anët.

$$16x-16-9x^{2}-54x=81$$

Kombino 16x dhe -54x për të marrë -38x.

$$-38x-16-9x^{2}=81$$

Zbrit 81 nga të dyja anët.

$$-38x-16-9x^{2}-81=0$$

Zbrit 81 nga -16 për të marrë -97.

$$-38x-97-9x^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-9x^{2}-38x-97=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -9, b me -38 dhe c me -97 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë -38.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\left(-9\right)\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Shumëzo -4 herë -9.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444+36\left(-97\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Shumëzo 36 herë -97.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-3492}}{2\left(-9\right)}$$

Mblidh 1444 me -3492.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{-2048}}{2\left(-9\right)}$$

Gjej rrënjën katrore të -2048.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

E kundërta e -38 është 38.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{2\left(-9\right)}$$

Shumëzo 2 herë -9.

$$x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} kur ± është plus. Mblidh 38 me 32i\sqrt{2}.

$$x=\frac{38+32\sqrt{2}i}{-18}$$

Pjesëto 38+32i\sqrt{2} me -18.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{38±32\sqrt{2}i}{-18} kur ± është minus. Zbrit 32i\sqrt{2} nga 38.

$$x=\frac{-32\sqrt{2}i+38}{-18}$$

Pjesëto 38-32i\sqrt{2} me -18.

$$x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}$$

Zëvendëso \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} me x në ekuacionin \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} vërteton ekuacionin.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} me x në ekuacionin \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9}+3}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{-19+16\sqrt{2}i}{9} nuk e vërteton ekuacionin.

$$-\frac{4}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} me x në ekuacionin \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3}.

$$\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}-1}-2=2\sqrt{\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}+3}$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9} vërteton ekuacionin.

$$-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}=-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}i\times 2^{\frac{1}{2}}$$

Ekuacioni \sqrt{x-1}-2=2\sqrt{x+3} ka një zgjidhje unike.

$$x=\frac{-16\sqrt{2}i-19}{9}$$