Zgjidh sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Gjej x (complex solution)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0.732050808$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x^{2}-1} në fuqi të 2 dhe merr x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x+1} në fuqi të 2 dhe merr 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Zbrit 1 nga -1 për të marrë -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -2 dhe c me -2 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Mblidh 4 me 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

E kundërta e -2 është 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kur ± është plus. Mblidh 2 me 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Pjesëto 2+2\sqrt{3} me 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{3} nga 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Pjesëto 2-2\sqrt{3} me 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Zëvendëso \sqrt{3}+1 me x në ekuacionin \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Thjeshto. Vlera x=\sqrt{3}+1 vërteton ekuacionin.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso 1-\sqrt{3} me x në ekuacionin \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Thjeshto. Vlera x=1-\sqrt{3} vërteton ekuacionin.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Listo të gjitha zgjidhjet e \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Gjej x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2.732050808$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x^{2}-1} në fuqi të 2 dhe merr x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x+1} në fuqi të 2 dhe merr 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Zbrit 1 nga -1 për të marrë -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 1, b me -2 dhe c me -2 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Ngri në fuqi të dytë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Shumëzo -4 herë -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Mblidh 4 me 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Gjej rrënjën katrore të 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

E kundërta e -2 është 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kur ± është plus. Mblidh 2 me 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Pjesëto 2+2\sqrt{3} me 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} kur ± është minus. Zbrit 2\sqrt{3} nga 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Pjesëto 2-2\sqrt{3} me 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Zëvendëso \sqrt{3}+1 me x në ekuacionin \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Thjeshto. Vlera x=\sqrt{3}+1 vërteton ekuacionin.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso 1-\sqrt{3} me x në ekuacionin \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. Shprehja \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} është e papërcaktuar sepse radikanti nuk mund të jetë negativ.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Ekuacioni \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ka një zgjidhje unike.

$$x=\sqrt{3}+1$$