Zgjidh sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Gjej x

$$x=-2$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+3} në fuqi të 2 dhe merr x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+6} në fuqi të 2 dhe merr x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Kombino x dhe x për të marrë 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Shto 3 dhe 6 për të marrë 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+11} në fuqi të 2 dhe merr x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Zbrit 2x+9 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 2x+9, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Kombino x dhe -2x për të marrë -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Zbrit 9 nga 11 për të marrë 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Zhvillo \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Llogarit 2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+3} në fuqi të 2 dhe merr x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+6} në fuqi të 2 dhe merr x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Apliko vetinë e shpërndarjes duke shumëzuar çdo kufizë të 4x+12 me çdo kufizë të x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Kombino 24x dhe 12x për të marrë 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Kombino 4x^{2} dhe -x^{2} për të marrë 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Kombino 36x dhe 4x për të marrë 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Zbrit 4 nga 72 për të marrë 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 3x^{2}+ax+bx+68. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është pozitive, a dhe b janë të dyja pozitive. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën 40.

$$a=6 b=34$$

Rishkruaj 3x^{2}+40x+68 si \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Faktorizo 3x në grupin e parë dhe 34 në të dytin.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x+2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x+2=0 dhe 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Zëvendëso -\frac{34}{3} me x në ekuacionin \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. Shprehja \sqrt{-\frac{34}{3}+3} është e papërcaktuar sepse radikanti nuk mund të jetë negativ.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Zëvendëso -2 me x në ekuacionin \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Thjeshto. Vlera x=-2 vërteton ekuacionin.

$$3=3$$

Ekuacioni \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ka një zgjidhje unike.

$$x=-2$$