Zgjidh sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Gjej x

$$x=2$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{7x+67} në fuqi të 2 dhe merr 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Zbrit 4x^{2} nga të dyja anët.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Zbrit 20x nga të dyja anët.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Kombino 7x dhe -20x për të marrë -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Zbrit 25 nga të dyja anët.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Zbrit 25 nga 67 për të marrë 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si -4x^{2}+ax+bx+42. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -13.

$$a=8 b=-21$$

Rishkruaj -4x^{2}-13x+42 si \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Faktorizo 4x në grupin e parë dhe 21 në të dytin.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët -x+2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh -x+2=0 dhe 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Zëvendëso 2 me x në ekuacionin \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Thjeshto. Vlera x=2 vërteton ekuacionin.

$$9=9$$

Zëvendëso -\frac{21}{4} me x në ekuacionin \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Thjeshto. Vlera x=-\frac{21}{4} nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

Ekuacioni \sqrt{7x+67}=2x+5 ka një zgjidhje unike.

$$x=2$$