Zgjidh sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Gjej x

$$x=2$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{5x-1} në fuqi të 2 dhe merr 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{3x-2} në fuqi të 2 dhe merr 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Kombino 5x dhe 3x për të marrë 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Zbrit 2 nga -1 për të marrë -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-1} në fuqi të 2 dhe merr x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Zbrit 8x-3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 8x-3, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Kombino x dhe -8x për të marrë -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

Shto -1 dhe 3 për të marrë 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Zhvillo \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Llogarit -2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{5x-1} në fuqi të 2 dhe merr 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{3x-2} në fuqi të 2 dhe merr 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Apliko vetinë e shpërndarjes duke shumëzuar çdo kufizë të 20x-4 me çdo kufizë të 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Kombino -40x dhe -12x për të marrë -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Zbrit 49x^{2} nga të dyja anët.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Kombino 60x^{2} dhe -49x^{2} për të marrë 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Shto 28x në të dyja anët.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Kombino -52x dhe 28x për të marrë -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Zbrit 4 nga 8 për të marrë 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si 11x^{2}+ax+bx+4. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Meqenëse ab është pozitive, a dhe b kanë shenjë të njëjtë. Meqenëse a+b është negative, a dhe b janë të dyja negative. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -24.

$$a=-22 b=-2$$

Rishkruaj 11x^{2}-24x+4 si \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Faktorizo 11x në grupin e parë dhe -2 në të dytin.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-2 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-2=0 dhe 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Zëvendëso \frac{2}{11} me x në ekuacionin \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. Shprehja \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} është e papërcaktuar sepse radikanti nuk mund të jetë negativ.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Zëvendëso 2 me x në ekuacionin \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Thjeshto. Vlera x=2 vërteton ekuacionin.

$$1=1$$

Ekuacioni \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ka një zgjidhje unike.

$$x=2$$