Zgjidh sqrt{3x-4}-sqrt{x-4}=4

$$\sqrt { 3 x - 4 } - \sqrt { x - 4 } = 4$$

Gjej x

$$x=8\sqrt{2}+16\approx 27.313708499$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit -\sqrt{x-4} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{3x-4}=4+\sqrt{x-4}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{3x-4}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{3x-4} në fuqi të 2 dhe merr 3x-4.

$$3x-4=\left(4+\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4+\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$3x-4=16+8\sqrt{x-4}+\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-4} në fuqi të 2 dhe merr x-4.

$$3x-4=16+8\sqrt{x-4}+x-4$$

Zbrit 4 nga 16 për të marrë 12.

$$3x-4=12+8\sqrt{x-4}+x$$

Zbrit 12+x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x-4-\left(12+x\right)=8\sqrt{x-4}$$

Për të gjetur të kundërtën e 12+x, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$3x-4-12-x=8\sqrt{x-4}$$

Zbrit 12 nga -4 për të marrë -16.

$$3x-16-x=8\sqrt{x-4}$$

Kombino 3x dhe -x për të marrë 2x.

$$2x-16=8\sqrt{x-4}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(2x-16\right)^{2}=\left(8\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2x-16\right)^{2}.

$$4x^{2}-64x+256=\left(8\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(8\sqrt{x-4}\right)^{2}.

$$4x^{2}-64x+256=8^{2}\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Llogarit 8 në fuqi të 2 dhe merr 64.

$$4x^{2}-64x+256=64\left(\sqrt{x-4}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-4} në fuqi të 2 dhe merr x-4.

$$4x^{2}-64x+256=64\left(x-4\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 64 me x-4.

$$4x^{2}-64x+256=64x-256$$

Zbrit 64x nga të dyja anët.

$$4x^{2}-64x+256-64x=-256$$

Kombino -64x dhe -64x për të marrë -128x.

$$4x^{2}-128x+256=-256$$

Shto 256 në të dyja anët.

$$4x^{2}-128x+256+256=0$$

Shto 256 dhe 256 për të marrë 512.

$$4x^{2}-128x+512=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me 4, b me -128 dhe c me 512 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{\left(-128\right)^{2}-4\times 4\times 512}}{2\times 4}$$

Ngri në fuqi të dytë -128.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-4\times 4\times 512}}{2\times 4}$$

Shumëzo -4 herë 4.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-16\times 512}}{2\times 4}$$

Shumëzo -16 herë 512.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{16384-8192}}{2\times 4}$$

Mblidh 16384 me -8192.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±\sqrt{8192}}{2\times 4}$$

Gjej rrënjën katrore të 8192.

$$x=\frac{-\left(-128\right)±64\sqrt{2}}{2\times 4}$$

E kundërta e -128 është 128.

$$x=\frac{128±64\sqrt{2}}{2\times 4}$$

Shumëzo 2 herë 4.

$$x=\frac{128±64\sqrt{2}}{8}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{128±64\sqrt{2}}{8} kur ± është plus. Mblidh 128 me 64\sqrt{2}.

$$x=\frac{64\sqrt{2}+128}{8}$$

Pjesëto 128+64\sqrt{2} me 8.

$$x=8\sqrt{2}+16$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{128±64\sqrt{2}}{8} kur ± është minus. Zbrit 64\sqrt{2} nga 128.

$$x=\frac{128-64\sqrt{2}}{8}$$

Pjesëto 128-64\sqrt{2} me 8.

$$x=16-8\sqrt{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=8\sqrt{2}+16 x=16-8\sqrt{2}$$

Zëvendëso 8\sqrt{2}+16 me x në ekuacionin \sqrt{3x-4}-\sqrt{x-4}=4.

$$\sqrt{3\left(8\sqrt{2}+16\right)-4}-\sqrt{8\sqrt{2}+16-4}=4$$

Thjeshto. Vlera x=8\sqrt{2}+16 vërteton ekuacionin.

$$4=4$$

Zëvendëso 16-8\sqrt{2} me x në ekuacionin \sqrt{3x-4}-\sqrt{x-4}=4.

$$\sqrt{3\left(16-8\sqrt{2}\right)-4}-\sqrt{16-8\sqrt{2}-4}=4$$

Thjeshto. Vlera x=16-8\sqrt{2} nuk e vërteton ekuacionin.

$$8-4\times 2^{\frac{1}{2}}=4$$

Zëvendëso 8\sqrt{2}+16 me x në ekuacionin \sqrt{3x-4}-\sqrt{x-4}=4.

$$\sqrt{3\left(8\sqrt{2}+16\right)-4}-\sqrt{8\sqrt{2}+16-4}=4$$

Thjeshto. Vlera x=8\sqrt{2}+16 vërteton ekuacionin.

$$4=4$$

Ekuacioni \sqrt{3x-4}=\sqrt{x-4}+4 ka një zgjidhje unike.

$$x=8\sqrt{2}+16$$