Zgjidh sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Gjej x (complex solution)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3.31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3.31662479i$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit -\sqrt{15+x^{2}} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{25-x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{15+x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

Shto 16 dhe 15 për të marrë 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Zbrit 31+x^{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Për të gjetur të kundërtën e 31+x^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Zbrit 31 nga 25 për të marrë -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Kombino -x^{2} dhe -x^{2} për të marrë -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Për të ngritur një fuqi në një fuqi tjetër, shumëzo eksponentët. Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit 8 në fuqi të 2 dhe merr 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{15+x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 64 me 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Zbrit 960 nga të dyja anët.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Zbrit 960 nga 36 për të marrë -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Zbrit 64x^{2} nga të dyja anët.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Kombino 24x^{2} dhe -64x^{2} për të marrë -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Zëvendëso t me x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 4 për a, -40 për b dhe -924 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Bëj llogaritjet.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Zgjidh ekuacionin t=\frac{40±128}{8} kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$t=21 t=-11$$

Meqenëse x=t^{2}, zgjidhjet merren duke përcaktuar x=±\sqrt{t} për çdo t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Zëvendëso -\sqrt{21} me x në ekuacionin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Thjeshto. Vlera x=-\sqrt{21} nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$-4=4$$

Zëvendëso \sqrt{21} me x në ekuacionin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Thjeshto. Vlera x=\sqrt{21} nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$-4=4$$

Zëvendëso -\sqrt{11}i me x në ekuacionin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Thjeshto. Vlera x=-\sqrt{11}i vërteton ekuacionin.

$$4=4$$

Zëvendëso \sqrt{11}i me x në ekuacionin \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Thjeshto. Vlera x=\sqrt{11}i vërteton ekuacionin.

$$4=4$$

Listo të gjitha zgjidhjet e \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$