Zgjidh sqrt{2x+14}-sqrt{x-7}=sqrt{x+5}

$$\sqrt { 2 x + 14 } - \sqrt { x - 7 } = \sqrt { x + 5 }$$

Gjej x

$$x=11$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{2x+14}-\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(\sqrt{2x+14}-\sqrt{x-7}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{2x+14}\right)^{2}-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}+\left(\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x+14} në fuqi të 2 dhe merr 2x+14.

$$2x+14-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}+\left(\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-7} në fuqi të 2 dhe merr x-7.

$$2x+14-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}+x-7=\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}$$

Kombino 2x dhe x për të marrë 3x.

$$3x+14-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}-7=\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}$$

Zbrit 7 nga 14 për të marrë 7.

$$3x+7-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}=\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x+5} në fuqi të 2 dhe merr x+5.

$$3x+7-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}=x+5$$

Zbrit 3x+7 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}=x+5-\left(3x+7\right)$$

Për të gjetur të kundërtën e 3x+7, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}=x+5-3x-7$$

Kombino x dhe -3x për të marrë -2x.

$$-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}=-2x+5-7$$

Zbrit 7 nga 5 për të marrë -2.

$$-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}=-2x-2$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Zhvillo \left(-2\sqrt{2x+14}\sqrt{x-7}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{2x+14}\right)^{2}\left(\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Llogarit -2 në fuqi të 2 dhe merr 4.

$$4\left(\sqrt{2x+14}\right)^{2}\left(\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2x+14} në fuqi të 2 dhe merr 2x+14.

$$4\left(2x+14\right)\left(\sqrt{x-7}\right)^{2}=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{x-7} në fuqi të 2 dhe merr x-7.

$$4\left(2x+14\right)\left(x-7\right)=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 2x+14.

$$\left(8x+56\right)\left(x-7\right)=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Apliko vetinë e shpërndarjes duke shumëzuar çdo kufizë të 8x+56 me çdo kufizë të x-7.

$$8x^{2}-56x+56x-392=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Kombino -56x dhe 56x për të marrë 0.

$$8x^{2}-392=\left(-2x-2\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-2x-2\right)^{2}.

$$8x^{2}-392=4x^{2}+8x+4$$

Zbrit 4x^{2} nga të dyja anët.

$$8x^{2}-392-4x^{2}=8x+4$$

Kombino 8x^{2} dhe -4x^{2} për të marrë 4x^{2}.

$$4x^{2}-392=8x+4$$

Zbrit 8x nga të dyja anët.

$$4x^{2}-392-8x=4$$

Zbrit 4 nga të dyja anët.

$$4x^{2}-392-8x-4=0$$

Zbrit 4 nga -392 për të marrë -396.

$$4x^{2}-396-8x=0$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$x^{2}-99-2x=0$$

Risistemo polinomin për ta vendosur në formën standarde. Renditi kufizat nga fuqia më e madhe tek ajo më e vogël.

$$x^{2}-2x-99=0$$

Për të zgjidhur ekuacionin, faktorizo anën e majtë nëpërmjet grupimit. Së pari, ana e majtë duhet të rishkruhet si x^{2}+ax+bx-99. Për të gjetur a dhe b, parametrizo një sistem për ta zgjidhur.

$$a+b=-2 ab=1\left(-99\right)=-99$$

Meqenëse ab është negative, a dhe b kanë shenja të kundërta. Meqenëse a+b është negative, numri negativ ka vlerë absolute më të madhe se ai pozitiv. Listo të gjitha këto çifte numrash të plotë që japin prodhimin -99.

$$1,-99 3,-33 9,-11$$

Llogarit shumën për çdo çift.

$$1-99=-98 3-33=-30 9-11=-2$$

Zgjidhja është çifti që jep shumën -2.

$$a=-11 b=9$$

Rishkruaj x^{2}-2x-99 si \left(x^{2}-11x\right)+\left(9x-99\right).

$$\left(x^{2}-11x\right)+\left(9x-99\right)$$

Faktorizo x në grupin e parë dhe 9 në të dytin.

$$x\left(x-11\right)+9\left(x-11\right)$$

Faktorizo pjesëtuesin e përbashkët x-11 duke përdorur vetinë e shpërndarjes.

$$\left(x-11\right)\left(x+9\right)$$

Për të gjetur zgjidhjet e ekuacionit, zgjidh x-11=0 dhe x+9=0.

$$x=11 x=-9$$

Zëvendëso -9 me x në ekuacionin \sqrt{2x+14}-\sqrt{x-7}=\sqrt{x+5}. Shprehja \sqrt{2\left(-9\right)+14} është e papërcaktuar sepse radikanti nuk mund të jetë negativ.

$$\sqrt{2\left(-9\right)+14}-\sqrt{-9-7}=\sqrt{-9+5}$$

Zëvendëso 11 me x në ekuacionin \sqrt{2x+14}-\sqrt{x-7}=\sqrt{x+5}.

$$\sqrt{2\times 11+14}-\sqrt{11-7}=\sqrt{11+5}$$

Thjeshto. Vlera x=11 vërteton ekuacionin.

$$4=4$$

Ekuacioni \sqrt{2x+14}-\sqrt{x-7}=\sqrt{x+5} ka një zgjidhje unike.

$$x=11$$