Zgjidh sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Gjej x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

Hapat e zgjidhjes

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{2-x} në fuqi të 2 dhe merr 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Zbrit x^{2} nga të dyja anët.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Shto 2x në të dyja anët.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Kombino -x dhe 2x për të marrë x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Zbrit 1 nga të dyja anët.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Zbrit 1 nga 2 për të marrë 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë jep dy zgjidhje, një kur ± është mbledhje dhe një kur është zbritje.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Ky ekuacion është në formën standarde: ax^{2}+bx+c=0. Zëvendëso a me -1, b me 1 dhe c me 1 në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Ngri në fuqi të dytë 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Shumëzo -4 herë -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Mblidh 1 me 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Shumëzo 2 herë -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} kur ± është plus. Mblidh -1 me \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Pjesëto -1+\sqrt{5} me -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Tani zgjidhe ekuacionin x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} kur ± është minus. Zbrit \sqrt{5} nga -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Pjesëto -1-\sqrt{5} me -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Ekuacioni është zgjidhur tani.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Zëvendëso \frac{1-\sqrt{5}}{2} me x në ekuacionin \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} nuk e vërteton ekuacionin sepse ana e majtë dhe e djathtë kanë shenja të kundërta.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Zëvendëso \frac{\sqrt{5}+1}{2} me x në ekuacionin \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Thjeshto. Vlera x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} vërteton ekuacionin.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

Ekuacioni \sqrt{2-x}=x-1 ka një zgjidhje unike.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$