Zgjidh sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Gjej x

$$x=\sqrt{10}\approx 3.16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3.16227766$$

Hapat e zgjidhjes

Zbrit -\sqrt{19-x^{2}} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{15+x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{19-x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

Shto 4 dhe 19 për të marrë 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Zbrit 23-x^{2} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Për të gjetur të kundërtën e 23-x^{2}, gjej të kundërtën e çdo kufize.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Zbrit 23 nga 15 për të marrë -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Kombino x^{2} dhe x^{2} për të marrë 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Ngri në fuqi të dytë të dyja anët e ekuacionit.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Përdor teoremën e binomit \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} për të zgjeruar \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Për të ngritur një fuqi në një fuqi tjetër, shumëzo eksponentët. Shumëzo 2 me 2 për të marrë 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Zhvillo \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit 4 në fuqi të 2 dhe merr 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Llogarit \sqrt{19-x^{2}} në fuqi të 2 dhe merr 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 16 me 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Zbrit 304 nga të dyja anët.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Zbrit 304 nga 64 për të marrë -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Shto 16x^{2} në të dyja anët.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Kombino -32x^{2} dhe 16x^{2} për të marrë -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Zëvendëso t me x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Të gjitha ekuacionet e formës ax^{2}+bx+c=0 mund të zgjidhen duke përdorur formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Zëvendëso 4 për a, -16 për b dhe -240 për c në formulën e zgjidhjes së ekuacioneve të shkallës së dytë.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Bëj llogaritjet.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Zgjidh ekuacionin t=\frac{16±64}{8} kur ± është plus dhe kur ± është minus.

$$t=10 t=-6$$

Meqenëse x=t^{2}, zgjidhjet merren nga përcaktimi i x=±\sqrt{t} për madhësinë pozitive t.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Zëvendëso \sqrt{10} me x në ekuacionin \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Thjeshto. Vlera x=\sqrt{10} vërteton ekuacionin.

$$2=2$$

Zëvendëso -\sqrt{10} me x në ekuacionin \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Thjeshto. Vlera x=-\sqrt{10} vërteton ekuacionin.

$$2=2$$

Listo të gjitha zgjidhjet e \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$