Zgjidh sin(x)

$$\sin ( x )$$

Diferenco në lidhje me x

$$\cos(x)$$

Hapat që përdorin përkufizimin e një derivati

Për një funksion f\left(x\right), derivati është limiti i \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} kur h shkon në 0, nëse ai limit ekziston.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin(x))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}\right)$$

Përdor formulën e shumës për sinusin.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x+h)-\sin(x)}{h}$$

Faktorizo \sin(x).

$$\lim_{h\to 0}\frac{\sin(x)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(x)\sin(h)}{h}$$

Rishkruaj limitin.

$$\left(\lim_{h\to 0}\sin(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(x)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Përdor faktin që x është konstante gjatë llogaritjes së limiteve kur h shkon në 0.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)$$

Limiti i \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} është 1.

$$\sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x)$$

Për të llogaritur limitin \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, në fillim shumëzo numëruesin dhe emëruesin me \cos(h)+1.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)$$

Shumëzo \cos(h)+1 herë \cos(h)-1.

$$\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Përdor identitetin e Pitagorës.

$$\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}$$

Rishkruaj limitin.

$$\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Limiti i \lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x} është 1.

$$-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)$$

Përdor faktin që \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} është i vazhdueshëm në 0.

$$\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0$$

Zëvendëso vlerën 0 në shprehjen \sin(x)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(x).

$$\cos(x)$$

Vlerëso

$$\sin(x)$$