Zgjidh {l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Kombino 4x dhe -x për të marrë 3x.

$$3x+8y=-y$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x+8y+y=0$$

Kombino 8y dhe y për të marrë 9y.

$$3x+9y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-3x-2y=-4-x$$

Shto x në të dyja anët.

$$-3x-2y+x=-4$$

Kombino -3x dhe x për të marrë -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x+9y=0$$

Zbrit 9y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-9y$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë -9y.

$$x=-3y$$

Zëvendëso x me -3y në ekuacionin tjetër, -2x-2y=-4.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

Shumëzo -2 herë -3y.

$$6y-2y=-4$$

Mblidh 6y me -2y.

$$4y=-4$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në x=-3y. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-3\left(-1\right)$$

Shumëzo -3 herë -1.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Kombino 4x dhe -x për të marrë 3x.

$$3x+8y=-y$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x+8y+y=0$$

Kombino 8y dhe y për të marrë 9y.

$$3x+9y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-3x-2y=-4-x$$

Shto x në të dyja anët.

$$-3x-2y+x=-4$$

Kombino -3x dhe x për të marrë -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=-1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x+2y.

$$4x+8y-x=-y$$

Kombino 4x dhe -x për të marrë 3x.

$$3x+8y=-y$$

Shto y në të dyja anët.

$$3x+8y+y=0$$

Kombino 8y dhe y për të marrë 9y.

$$3x+9y=0$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-3x-2y=-4-x$$

Shto x në të dyja anët.

$$-3x-2y+x=-4$$

Kombino -3x dhe x për të marrë -2x.

$$-2x-2y=-4$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

Për ta bërë 3x të barabartë me -2x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -2 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 3.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

Thjeshto.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

Zbrit -6x-6y=-12 nga -6x-18y=0 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

Mblidh -6x me 6x. Shprehjet -6x dhe 6x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-18y+6y=12$$

Mblidh -18y me 6y.

$$-12y=12$$

Pjesëto të dyja anët me -12.

$$y=-1$$

Zëvendëso y me -1 në -2x-2y=-4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

Shumëzo -2 herë -1.

$$-2x+2=-4$$

Zbrit 2 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-2x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=-1$$