Zgjidh {c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

Gjej y, x

$$x=2$$

$$y=-8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$27+4y+4x=3$$

Zbrit 27 nga të dyja anët.

$$4y+4x=3-27$$

Zbrit 27 nga 3 për të marrë -24.

$$4y+4x=-24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$8x+3y=-8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$4y+4x=-24$$

Zbrit 4x nga të dyja anët e ekuacionit.

$$4y=-4x-24$$

Pjesëto të dyja anët me 4.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

Shumëzo \frac{1}{4} herë -4x-24.

$$y=-x-6$$

Zëvendëso y me -x-6 në ekuacionin tjetër, 3y+8x=-8.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

Shumëzo 3 herë -x-6.

$$-3x-18+8x=-8$$

Mblidh -3x me 8x.

$$5x-18=-8$$

Mblidh 18 në të dyja anët e ekuacionit.

$$5x=10$$

Pjesëto të dyja anët me 5.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në y=-x-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=-2-6$$

Mblidh -6 me -2.

$$y=-8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-8,x=2$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$27+4y+4x=3$$

Zbrit 27 nga të dyja anët.

$$4y+4x=3-27$$

Zbrit 27 nga 3 për të marrë -24.

$$4y+4x=-24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$8x+3y=-8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-8,x=2$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 5.

$$27+4y=-4x+3$$

Shto 4x në të dyja anët.

$$27+4y+4x=3$$

Zbrit 27 nga të dyja anët.

$$4y+4x=3-27$$

Zbrit 27 nga 3 për të marrë -24.

$$4y+4x=-24$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 3y në të dyja anët.

$$8x+3y=-8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

Për ta bërë 4y të barabartë me 3y, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 4.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

Thjeshto.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

Zbrit 12y+32x=-32 nga 12y+12x=-72 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

Mblidh 12y me -12y. Shprehjet 12y dhe -12y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$12x-32x=-72+32$$

Mblidh 12x me -32x.

$$-20x=-72+32$$

Mblidh -72 me 32.

$$-20x=-40$$

Pjesëto të dyja anët me -20.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në 3y+8x=-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$3y+8\times 2=-8$$

Shumëzo 8 herë 2.

$$3y+16=-8$$

Zbrit 16 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3y=-24$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$y=-8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-8,x=2$$