Zgjidh {l}{x+2y=8}{y=3x-3}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 8 }\\{ y = 3 x - 3 }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x+2y=8$$

Zbrit 2y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$x=-2y+8$$

Zëvendëso x me -2y+8 në ekuacionin tjetër, -3x+y=-3.

$$-3\left(-2y+8\right)+y=-3$$

Shumëzo -3 herë -2y+8.

$$6y-24+y=-3$$

Mblidh 6y me y.

$$7y-24=-3$$

Mblidh 24 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7y=21$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në x=-2y+8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-2\times 3+8$$

Shumëzo -2 herë 3.

$$x=-6+8$$

Mblidh 8 me -6.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-3\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{1-2\left(-3\right)}&\frac{1}{1-2\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&-\frac{2}{7}\\\frac{3}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 8-\frac{2}{7}\left(-3\right)\\\frac{3}{7}\times 8+\frac{1}{7}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$y-3x=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x+2y=8,-3x+y=-3$$

Për ta bërë x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3x-3\times 2y=-3\times 8,-3x+y=-3$$

Thjeshto.

$$-3x-6y=-24,-3x+y=-3$$

Zbrit -3x+y=-3 nga -3x-6y=-24 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x-6y-y=-24+3$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6y-y=-24+3$$

Mblidh -6y me -y.

$$-7y=-24+3$$

Mblidh -24 me 3.

$$-7y=-21$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$y=3$$

Zëvendëso y me 3 në -3x+y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x+3=-3$$

Zbrit 3 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-6$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=3$$