Zgjidh {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$x+2y=4+3y$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+2y-3y=4$$

Kombino 2y dhe -3y për të marrë -y.

$$x-y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$8-y+2y=2+3x$$

Kombino -y dhe 2y për të marrë y.

$$8+y=2+3x$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$8+y-3x=2$$

Zbrit 8 nga të dyja anët.

$$y-3x=2-8$$

Zbrit 8 nga 2 për të marrë -6.

$$y-3x=-6$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=4$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+4$$

Zëvendëso x me y+4 në ekuacionin tjetër, -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Shumëzo -3 herë y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Mblidh -3y me y.

$$-2y-12=-6$$

Mblidh 12 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-2y=6$$

Pjesëto të dyja anët me -2.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në x=y+4. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-3+4$$

Mblidh 4 me -3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$x+2y=4+3y$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+2y-3y=4$$

Kombino 2y dhe -3y për të marrë -y.

$$x-y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$8-y+2y=2+3x$$

Kombino -y dhe 2y për të marrë y.

$$8+y=2+3x$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$8+y-3x=2$$

Zbrit 8 nga të dyja anët.

$$y-3x=2-8$$

Zbrit 8 nga 2 për të marrë -6.

$$y-3x=-6$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=1,y=-3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

Shto 3 dhe 1 për të marrë 4.

$$x+2y=4+3y$$

Zbrit 3y nga të dyja anët.

$$x+2y-3y=4$$

Kombino 2y dhe -3y për të marrë -y.

$$x-y=4$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Shto 2y në të dyja anët.

$$8-y+2y=2+3x$$

Kombino -y dhe 2y për të marrë y.

$$8+y=2+3x$$

Zbrit 3x nga të dyja anët.

$$8+y-3x=2$$

Zbrit 8 nga të dyja anët.

$$y-3x=2-8$$

Zbrit 8 nga 2 për të marrë -6.

$$y-3x=-6$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Për ta bërë x të barabartë me -3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Thjeshto.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Zbrit -3x+y=-6 nga -3x+3y=-12 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Mblidh -3x me 3x. Shprehjet -3x dhe 3x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3y-y=-12+6$$

Mblidh 3y me -y.

$$2y=-12+6$$

Mblidh -12 me 6.

$$2y=-6$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$y=-3$$

Zëvendëso y me -3 në -3x+y=-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-3x-3=-6$$

Mblidh 3 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=1$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=1,y=-3$$