Zgjidh {l}{2x-y=4}{y=x+3}

$$\left. \begin{array}{l}{ 2 x - y = 4 }\\{ y = x + 3 }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=10$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-y=4$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=y+4$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(y+4\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë y+4.

$$x=\frac{1}{2}y+2$$

Zëvendëso x me \frac{y}{2}+2 në ekuacionin tjetër, -x+y=3.

$$-\left(\frac{1}{2}y+2\right)+y=3$$

Shumëzo -1 herë \frac{y}{2}+2.

$$-\frac{1}{2}y-2+y=3$$

Mblidh -\frac{y}{2} me y.

$$\frac{1}{2}y-2=3$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{2}y=5$$

Shumëzo të dyja anët me 2.

$$y=10$$

Zëvendëso y me 10 në x=\frac{1}{2}y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{2}\times 10+2$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 10.

$$x=5+2$$

Mblidh 2 me 5.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=10$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-1\\-1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&1\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4+3\\4+2\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=10$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-y=4,-x+y=3$$

Për ta bërë 2x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 2.

$$-2x-\left(-y\right)=-4,2\left(-1\right)x+2y=2\times 3$$

Thjeshto.

$$-2x+y=-4,-2x+2y=6$$

Zbrit -2x+2y=6 nga -2x+y=-4 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-2x+2x+y-2y=-4-6$$

Mblidh -2x me 2x. Shprehjet -2x dhe 2x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-2y=-4-6$$

Mblidh y me -2y.

$$-y=-4-6$$

Mblidh -4 me -6.

$$-y=-10$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=10$$

Zëvendëso y me 10 në -x+y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+10=3$$

Zbrit 10 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=10$$