Zgjidh {l}{-3x-3=2y+4}{3x-y=0}

$$\left. \begin{array}{l}{ - 3 x - 3 = 2 y + 4 }\\{ 3 x - y = 0 }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=-\frac{7}{9}\approx -0.777777778$$

$$y = -\frac{7}{3} = -2\frac{1}{3} \approx -2.333333333$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-3x-3-2y=4$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$-3x-2y=4+3$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$-3x-2y=7$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$-3x-2y=7,3x-y=0$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$-3x-2y=7$$

Mblidh 2y në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3x=2y+7$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$x=-\frac{1}{3}\left(2y+7\right)$$

Shumëzo -\frac{1}{3} herë 2y+7.

$$x=-\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-2y-7}{3} në ekuacionin tjetër, 3x-y=0.

$$3\left(-\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}\right)-y=0$$

Shumëzo 3 herë \frac{-2y-7}{3}.

$$-2y-7-y=0$$

Mblidh -2y me -y.

$$-3y-7=0$$

Mblidh 7 në të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=7$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{7}{3} në x=-\frac{2}{3}y-\frac{7}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{2}{3}\left(-\frac{7}{3}\right)-\frac{7}{3}$$

Shumëzo -\frac{2}{3} herë -\frac{7}{3} duke shumëzuar numëruesin herë numëruesin dhe emëruesin herë emëruesin. Më pas thjeshtoje thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=\frac{14}{9}-\frac{7}{3}$$

Mblidh -\frac{7}{3} me \frac{14}{9} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=-\frac{7}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{7}{9},y=-\frac{7}{3}$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-3x-3-2y=4$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$-3x-2y=4+3$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$-3x-2y=7$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$-3x-2y=7,3x-y=0$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-3&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{3}{-3\left(-1\right)-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\0\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{9}\times 7\\-\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\\-\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=-\frac{7}{9},y=-\frac{7}{3}$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit 2y nga të dyja anët.

$$-3x-3-2y=4$$

Shto 3 në të dyja anët.

$$-3x-2y=4+3$$

Shto 4 dhe 3 për të marrë 7.

$$-3x-2y=7$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$-3x-2y=7,3x-y=0$$

Për ta bërë -3x të barabartë me 3x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 3 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me -3.

$$3\left(-3\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 7,-3\times 3x-3\left(-1\right)y=0$$

Thjeshto.

$$-9x-6y=21,-9x+3y=0$$

Zbrit -9x+3y=0 nga -9x-6y=21 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-9x+9x-6y-3y=21$$

Mblidh -9x me 9x. Shprehjet -9x dhe 9x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-6y-3y=21$$

Mblidh -6y me -3y.

$$-9y=21$$

Pjesëto të dyja anët me -9.

$$y=-\frac{7}{3}$$

Zëvendëso y me -\frac{7}{3} në 3x-y=0. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$3x-\left(-\frac{7}{3}\right)=0$$

Zbrit \frac{7}{3} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=-\frac{7}{3}$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=-\frac{7}{9}$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=-\frac{7}{9},y=-\frac{7}{3}$$