Zgjidh {l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=5$$

$$y=17$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me -1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y+1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3=y+1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x+3-y=1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x-y=1-3$$

Zbrit 3 nga 1 për të marrë -2.

$$3x-y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4\left(y-1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x-1.

$$4x-4=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$4x-4-y=-1$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$4x-y=-1+4$$

Shto -1 dhe 4 për të marrë 3.

$$4x-y=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$3x-y=-2$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$3x=y-2$$

Pjesëto të dyja anët me 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë y-2.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

Zëvendëso x me \frac{-2+y}{3} në ekuacionin tjetër, 4x-y=3.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

Shumëzo 4 herë \frac{-2+y}{3}.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

Mblidh \frac{4y}{3} me -y.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

Mblidh \frac{8}{3} në të dyja anët e ekuacionit.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

Shumëzo të dyja anët me 3.

$$y=17$$

Zëvendëso y me 17 në x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

Shumëzo \frac{1}{3} herë 17.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

Mblidh -\frac{2}{3} me \frac{17}{3} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=17$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me -1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y+1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3=y+1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x+3-y=1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x-y=1-3$$

Zbrit 3 nga 1 për të marrë -2.

$$3x-y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4\left(y-1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x-1.

$$4x-4=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$4x-4-y=-1$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$4x-y=-1+4$$

Shto -1 dhe 4 për të marrë 3.

$$4x-y=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=5,y=17$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me -1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3\left(y+1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y+1,3.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+1.

$$3x+3=y+1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$3x+3-y=1$$

Zbrit 3 nga të dyja anët.

$$3x-y=1-3$$

Zbrit 3 nga 1 për të marrë -2.

$$3x-y=-2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Ndryshorja y nuk mund të jetë e barabartë me 1 meqenëse pjesëtimi me zero nuk është përcaktuar. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 4\left(y-1\right), shumëfishin më të vogël të përbashkët të y-1,4.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me x-1.

$$4x-4=y-1$$

Zbrit y nga të dyja anët.

$$4x-4-y=-1$$

Shto 4 në të dyja anët.

$$4x-y=-1+4$$

Shto -1 dhe 4 për të marrë 3.

$$4x-y=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

Zbrit 4x-y=3 nga 3x-y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

Mblidh -y me y. Shprehjet -y dhe y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$3x-4x=-2-3$$

Mblidh 3x me -4x.

$$-x=-2-3$$

Mblidh -2 me -3.

$$-x=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=5$$

Zëvendëso x me 5 në 4x-y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$4\times 5-y=3$$

Shumëzo 4 herë 5.

$$20-y=3$$

Zbrit 20 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-y=-17$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=17$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=5,y=17$$