Zgjidh {r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=7$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-1-y=1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$x-y=1+1$$

Shto 1 dhe 1 për të marrë 2.

$$x-y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$2y-2=x+1$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-2-x=1$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$2y-x=1+2$$

Shto 1 dhe 2 për të marrë 3.

$$2y-x=3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$x-y=2$$

Mblidh y në të dyja anët e ekuacionit.

$$x=y+2$$

Zëvendëso x me y+2 në ekuacionin tjetër, -x+2y=3.

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

Shumëzo -1 herë y+2.

$$-y-2+2y=3$$

Mblidh -y me 2y.

$$y-2=3$$

Mblidh 2 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=y+2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=5+2$$

Mblidh 2 me 5.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-1-y=1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$x-y=1+1$$

Shto 1 dhe 1 për të marrë 2.

$$x-y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$2y-2=x+1$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-2-x=1$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$2y-x=1+2$$

Shto 1 dhe 2 për të marrë 3.

$$2y-x=3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=7,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit y nga të dyja anët.

$$x-1-y=1$$

Shto 1 në të dyja anët.

$$x-y=1+1$$

Shto 1 dhe 1 për të marrë 2.

$$x-y=2$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me y-1.

$$2y-2=x+1$$

Zbrit x nga të dyja anët.

$$2y-2-x=1$$

Shto 2 në të dyja anët.

$$2y-x=1+2$$

Shto 1 dhe 2 për të marrë 3.

$$2y-x=3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

Për ta bërë x të barabartë me -x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me -1 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 1.

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

Thjeshto.

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

Zbrit -x+2y=3 nga -x+y=-2 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

Mblidh -x me x. Shprehjet -x dhe x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$y-2y=-2-3$$

Mblidh y me -2y.

$$-y=-2-3$$

Mblidh -2 me -3.

$$-y=-5$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në -x+2y=3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$-x+2\times 5=3$$

Shumëzo 2 herë 5.

$$-x+10=3$$

Zbrit 10 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=7$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=7,y=5$$