Zgjidh {r}{2(x+2y)+3(3x-y)=38}{4(3x+2y)-3(x+5y)=-8}

$$\left. \begin{array} { r } { 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 3 x - y ) = 38 } \\ { 4 ( 3 x + 2 y ) - 3 ( x + 5 y ) = - 8 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=3$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+2y.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-y.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

Kombino 2x dhe 9x për të marrë 11x.

$$11x+4y-3y=38$$

Kombino 4y dhe -3y për të marrë y.

$$11x+y=38$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 3x+2y.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x+5y.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

Kombino 12x dhe -3x për të marrë 9x.

$$9x+8y-15y=-8$$

Kombino 8y dhe -15y për të marrë -7y.

$$9x-7y=-8$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$11x+y=38$$

Zbrit y nga të dyja anët e ekuacionit.

$$11x=-y+38$$

Pjesëto të dyja anët me 11.

$$x=\frac{1}{11}\left(-y+38\right)$$

Shumëzo \frac{1}{11} herë -y+38.

$$x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}$$

Zëvendëso x me \frac{-y+38}{11} në ekuacionin tjetër, 9x-7y=-8.

$$9\left(-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}\right)-7y=-8$$

Shumëzo 9 herë \frac{-y+38}{11}.

$$-\frac{9}{11}y+\frac{342}{11}-7y=-8$$

Mblidh -\frac{9y}{11} me -7y.

$$-\frac{86}{11}y+\frac{342}{11}=-8$$

Zbrit \frac{342}{11} nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-\frac{86}{11}y=-\frac{430}{11}$$

Pjesëto të dyja anët e ekuacionit me -\frac{86}{11}, që është njëlloj sikur t'i shumëzosh të dyja anët me të anasjelltën e thyesës.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=-\frac{1}{11}\times 5+\frac{38}{11}$$

Shumëzo -\frac{1}{11} herë 5.

$$x=\frac{-5+38}{11}$$

Mblidh \frac{38}{11} me -\frac{5}{11} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+2y.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-y.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

Kombino 2x dhe 9x për të marrë 11x.

$$11x+4y-3y=38$$

Kombino 4y dhe -3y për të marrë y.

$$11x+y=38$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 3x+2y.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x+5y.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

Kombino 12x dhe -3x për të marrë 9x.

$$9x+8y-15y=-8$$

Kombino 8y dhe -15y për të marrë -7y.

$$9x-7y=-8$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11\left(-7\right)-9}&-\frac{1}{11\left(-7\right)-9}\\-\frac{9}{11\left(-7\right)-9}&\frac{11}{11\left(-7\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}&\frac{1}{86}\\\frac{9}{86}&-\frac{11}{86}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}\times 38+\frac{1}{86}\left(-8\right)\\\frac{9}{86}\times 38-\frac{11}{86}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=3,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+2y.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me 3x-y.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

Kombino 2x dhe 9x për të marrë 11x.

$$11x+4y-3y=38$$

Kombino 4y dhe -3y për të marrë y.

$$11x+y=38$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 4 me 3x+2y.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar -3 me x+5y.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

Kombino 12x dhe -3x për të marrë 9x.

$$9x+8y-15y=-8$$

Kombino 8y dhe -15y për të marrë -7y.

$$9x-7y=-8$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

Për ta bërë 11x të barabartë me 9x, shumëzo të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të parë me 9 dhe të gjitha kufizat në secilën anë të ekuacionit të dytë me 11.

$$9\times 11x+9y=9\times 38,11\times 9x+11\left(-7\right)y=11\left(-8\right)$$

Thjeshto.

$$99x+9y=342,99x-77y=-88$$

Zbrit 99x-77y=-88 nga 99x+9y=342 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$99x-99x+9y+77y=342+88$$

Mblidh 99x me -99x. Shprehjet 99x dhe -99x thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$9y+77y=342+88$$

Mblidh 9y me 77y.

$$86y=342+88$$

Mblidh 342 me 88.

$$86y=430$$

Pjesëto të dyja anët me 86.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në 9x-7y=-8. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$9x-7\times 5=-8$$

Shumëzo -7 herë 5.

$$9x-35=-8$$

Mblidh 35 në të dyja anët e ekuacionit.

$$9x=27$$

Pjesëto të dyja anët me 9.

$$x=3$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=3,y=5$$