Zgjidh {r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

Gjej x, y

$$x=2$$

$$y=5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$2x-3y=-9-2$$

Zbrit 2 nga -9 për të marrë -11.

$$2x-3y=-11$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Kombino 3x dhe 3x për të marrë 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$6x-3y=12-15$$

Zbrit 15 nga 12 për të marrë -3.

$$6x-3y=-3$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej x duke veçuar x në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$2x-3y=-11$$

Mblidh 3y në të dyja anët e ekuacionit.

$$2x=3y-11$$

Pjesëto të dyja anët me 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

Shumëzo \frac{1}{2} herë 3y-11.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

Zëvendëso x me \frac{3y-11}{2} në ekuacionin tjetër, 6x-3y=-3.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

Shumëzo 6 herë \frac{3y-11}{2}.

$$9y-33-3y=-3$$

Mblidh 9y me -3y.

$$6y-33=-3$$

Mblidh 33 në të dyja anët e ekuacionit.

$$6y=30$$

Pjesëto të dyja anët me 6.

$$y=5$$

Zëvendëso y me 5 në x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh x menjëherë.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

Shumëzo \frac{3}{2} herë 5.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

Mblidh -\frac{11}{2} me \frac{15}{2} duke gjetur një emërues të përbashkët dhe duke mbledhur numëruesit. Pastaj zvogëlo thyesën në kufizat më të vogla nëse është e mundur.

$$x=2$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=5$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$2x-3y=-9-2$$

Zbrit 2 nga -9 për të marrë -11.

$$2x-3y=-11$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Kombino 3x dhe 3x për të marrë 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$6x-3y=12-15$$

Zbrit 15 nga 12 për të marrë -3.

$$6x-3y=-3$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si një problemë e shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës x dhe y.

$$x=2,y=5$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Shumëzo të dyja anët e ekuacionit me 3.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 2 me x+1.

$$2x+2-3y=-9$$

Zbrit 2 nga të dyja anët.

$$2x-3y=-9-2$$

Zbrit 2 nga -9 për të marrë -11.

$$2x-3y=-11$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Përdor vetinë e shpërndarjes për të shumëzuar 3 me x+5-y.

$$3x+15-3y+3x=12$$

Kombino 3x dhe 3x për të marrë 6x.

$$6x+15-3y=12$$

Zbrit 15 nga të dyja anët.

$$6x-3y=12-15$$

Zbrit 15 nga 12 për të marrë -3.

$$6x-3y=-3$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

Zbrit 6x-3y=-3 nga 2x-3y=-11 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

Mblidh -3y me 3y. Shprehjet -3y dhe 3y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$2x-6x=-11+3$$

Mblidh 2x me -6x.

$$-4x=-11+3$$

Mblidh -11 me 3.

$$-4x=-8$$

Pjesëto të dyja anët me -4.

$$x=2$$

Zëvendëso x me 2 në 6x-3y=-3. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$6\times 2-3y=-3$$

Shumëzo 6 herë 2.

$$12-3y=-3$$

Zbrit 12 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-3y=-15$$

Pjesëto të dyja anët me -3.

$$y=5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$x=2,y=5$$