Zgjidh {l}{y=x-6}{y=-6x+1}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x - 6 } \\ { y = - 6 x + 1 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=1$$

$$y=-5$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 6x në të dyja anët.

$$y+6x=1$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-x=-6$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=x-6$$

Zëvendëso y me x-6 në ekuacionin tjetër, y+6x=1.

$$x-6+6x=1$$

Mblidh x me 6x.

$$7x-6=1$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$7x=7$$

Pjesëto të dyja anët me 7.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y=x-6. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=1-6$$

Mblidh -6 me 1.

$$y=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-5,x=1$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 6x në të dyja anët.

$$y+6x=1$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{6-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{6-\left(-1\right)}&\frac{1}{6-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-6\\1\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\\-\frac{1}{7}\left(-6\right)+\frac{1}{7}\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\1\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=-5,x=1$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=-6$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Shto 6x në të dyja anët.

$$y+6x=1$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-x=-6,y+6x=1$$

Zbrit y+6x=1 nga y-x=-6 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-x-6x=-6-1$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x-6x=-6-1$$

Mblidh -x me -6x.

$$-7x=-6-1$$

Mblidh -6 me -1.

$$-7x=-7$$

Pjesëto të dyja anët me -7.

$$x=1$$

Zëvendëso x me 1 në y+6x=1. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y+6=1$$

Zbrit 6 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$y=-5$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=-5,x=1$$