Zgjidh {l}{y=x+5}{y=2x+2}

$$\left. \begin{array} { l } { y = x + 5 } \\ { y = 2 x + 2 } \end{array} \right.$$

Gjej y, x

$$x=3$$

$$y=8$$

Hapat që përdorin zëvendësimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=2$$

Për të zgjidhur një çift ekuacionesh duke përdorur zëvendësimin, në fillim zgjidh njërin prej ekuacioneve për njërën prej ndryshoreve. Më pas zëvendësoje rezultatin për atë ndryshore në ekuacionin tjetër.

$$y-x=5,y-2x=2$$

Zgjidh njërin prej ekuacioneve dhe gjej y duke veçuar y në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$y-x=5$$

Mblidh x në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=x+5$$

Zëvendëso y me x+5 në ekuacionin tjetër, y-2x=2.

$$x+5-2x=2$$

Mblidh x me -2x.

$$-x+5=2$$

Zbrit 5 nga të dyja anët e ekuacionit.

$$-x=-3$$

Pjesëto të dyja anët me -1.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y=x+5. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y=3+5$$

Mblidh 5 me 3.

$$y=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=8,x=3$$

Hapat që përdorin matricat

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=2$$

Vendos ekuacionet në formën standarde dhe më pas përdor matricat për të zgjidhur sistemin e ekuacioneve.

$$y-x=5,y-2x=2$$

Shkruaj ekuacionet në formë matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo majtas ekuacionit me matricën e kundërt të \left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Prodhimi i një matrice me të kundërtën e saj është matrica e identitetit.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat në anën e majtë të shenjës së barazimit.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Për matricën 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matrica e anasjelltë është \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), kështu që ekuacioni i matricës mund të rishkruhet si problem i shumëzimit të matricave.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{-2-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-1\right)}&\frac{1}{-2-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Shumëzo matricat.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 5-2\\5-2\end{matrix}\right)$$

Bëj veprimet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\3\end{matrix}\right)$$

Nxirr elementet e matricës y dhe x.

$$y=8,x=3$$

Hapat që përdorin eliminimin

Merr parasysh ekuacionin e parë. Zbrit x nga të dyja anët.

$$y-x=5$$

Merr parasysh ekuacionin e dytë. Zbrit 2x nga të dyja anët.

$$y-2x=2$$

Për të zgjidhur nëpërmjet eliminimit, koeficientet e njërës prej ndryshoreve duhet të jenë të njëjtë në të dyja ekuacionet në mënyrë që ndryshorja të thjeshtohet kur një ekuacion të zbritet nga tjetri.

$$y-x=5,y-2x=2$$

Zbrit y-2x=2 nga y-x=5 duke zbritur kufizat e ngjashme në secilën anë të shenjës së barazimit.

$$y-y-x+2x=5-2$$

Mblidh y me -y. Shprehjet y dhe -y thjeshtohen, duke e lënë ekuacionin vetëm me një ndryshore që mund të gjendet.

$$-x+2x=5-2$$

Mblidh -x me 2x.

$$x=5-2$$

Mblidh 5 me -2.

$$x=3$$

Zëvendëso x me 3 në y-2x=2. Meqë ekuacioni që përftojmë përmban vetëm një ndryshore, mund ta gjesh y menjëherë.

$$y-2\times 3=2$$

Shumëzo -2 herë 3.

$$y-6=2$$

Mblidh 6 në të dyja anët e ekuacionit.

$$y=8$$

Sistemi është zgjidhur tani.

$$y=8,x=3$$